Densité de ℚ dans ℝ et borne supérieure

Difficile
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Énoncé

  1. Soit . Déterminer et , et préciser si ces bornes appartiennent à A.
  2. Montrer que est irrationnel (raisonnement par l'absurde).
  3. On admet que est dense dans . Trouver un rationnel et un irrationnel dans l'intervalle .

Indices

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1 Indice 1
Pour la question 1, réécris la condition $x^2 < 3$ sous forme d'un intervalle en résolvant l'inéquation.
2 Indice 2
Pour la question 2, suppose que $\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}$ avec $p,q$ premiers entre eux, élève au carré, et montre successivement que $p$ puis $q$ sont pairs.
3 Indice 3
Pour la question 3, calcule les valeurs approchées de $\sqrt{2}$ et $\sqrt{3}$, puis cherche un nombre décimal simple entre les deux, et un nombre de la forme $\sqrt{a}$ avec $a$ non carré parfait, compris entre les deux.

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La méthode — par où commencer

Pour la question 1, réécris la condition sous forme d'un intervalle en résolvant l'inéquation.

Pour la question 2, suppose que avec premiers entre eux, élève au carré, et montre successivement que puis sont pairs.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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