Soit f la fonction définie sur R par : f ( x ) = x 2 + 1 2 x Étudier la parité de f . Montrer que pour tous réels x et y : f ( x ) − f ( y ) = ( x 2 + 1 ) ( y 2 + 1 ) 2 ( 1 − x y ) ( x − y ) . En déduire l'expression du taux de variation de f . Étudier le sens de variation de f sur [ 0 ; 1 ] puis sur [ 1 ; + ∞ [ .

Parité et variations d'une fonction rationnelle impaire

Difficile

Soit $f$ la fonction définie sur $R$ par :

$f (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$

Étudier la parité de $f$ .
Montrer que pour tous réels $x$ et $y$ : $f (x) - f (y) = \frac{2 ( 1 - x y ) ( x - y )}{( x ^{2} + 1 ) ( y ^{2} + 1 )}$ . En déduire l'expression du taux de variation de $f$ .
Étudier le sens de variation de $f$ sur $[0; 1]$ puis sur $[1; + \infty [$ .

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1 Indice 1

Pour la parite, calcule $f(-x)$ et compare-le a $f(x)$ et $-f(x)$.

2 Indice 2

Pour la difference $f(x)-f(y)$, mets les deux fractions au meme denominateur et factorise le numerateur.

3 Indice 3

Le signe du taux de variation depend uniquement du signe de $1-xy$ ; etudie ce signe sur chacun des deux intervalles.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour la parite, calcule $f (- x)$ et compare-le a $f (x)$ et $- f (x)$ .

Pour la difference $f (x) - f (y)$ , mets les deux fractions au meme denominateur et factorise le numerateur.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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