Montrer que pour tous réels a, b : a 2 + b 2 ≥ 2 ab . En déduire que pour a, b > 0 : 2 a + b ≥ ab (moyenne arithmétique ≥ moyenne géométrique). Application : montrer que pour x > 0, on a x + x 1 ≥ 2 . Montrer que pour tous réels a, b, c : a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + b c + c a .

Inégalités classiques : AM-GM

Difficile

Montrer que pour tous réels a, b : $a^{2} + b^{2} \geq 2 ab$ .
En déduire que pour a, b > 0 : $\frac{a + b}{2} \geq ab$ (moyenne arithmétique $\geq$ moyenne géométrique).
Application : montrer que pour x > 0, on a $x + \frac{1}{x} \geq 2$ .
Montrer que pour tous réels a, b, c : $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab + b c + c a$ .

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1 Indice 1

Pour la question 1, développe $(a-b)^2$ et compare le résultat à $0$.

2 Indice 2

Pour la question 2, applique le résultat de la question 1 aux réels $\\sqrt{a}$ et $\\sqrt{b}$ (possible car $a,b>0$).

3 Indice 3

Pour la question 3, applique la question 2 avec $a=x$ et $b=\\frac{1}{x}$. Pour la question 4, développe $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$ et compare à $0$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour la question 1, développe $(a - b)^{2}$ et compare le résultat à $0$ .

Pour la question 2, applique le résultat de la question 1 aux réels $s q r t a$ et $s q r t b$ (possible car $a, b > 0$ ).

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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