Théorème de Bézout et racines

Facile
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Énoncé

On rappelle le théorème de Bézout : a est racine du polynôme P si et seulement si divise .

  1. Vérifier que 2 est racine de et factoriser .
  2. Montrer que 1 est racine double de et factoriser .

Indices

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1 Indice 1
Pour vérifier qu'un nombre est racine, remplace $x$ par ce nombre dans le polynôme. Si tu obtiens zéro, c'est une racine ! Ensuite, applique le théorème de Bézout pour factoriser.
2 Indice 2
Pour la racine double de $Q(x)$, calcule d'abord $Q(1)$ pour vérifier que 1 est racine, puis calcule la dérivée $Q'(x)$ et vérifie si $Q'(1) = 0$ aussi. Si oui, $(x-1)^2$ divise $Q(x)$.

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La méthode — par où commencer

Pour vérifier qu'un nombre est racine, remplace par ce nombre dans le polynôme. Si tu obtiens zéro, c'est une racine ! Ensuite, applique le théorème de Bézout pour factoriser.

Pour la racine double de , calcule d'abord pour vérifier que 1 est racine, puis calcule la dérivée et vérifie si aussi. Si oui, divise .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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