A B C est un triangle et I le milieu de [ B C ] . On construit les points M et N tels que : A M = 2 3 A B et A N = 2 3 A C Montrer que les droites ( B C ) et ( M N ) sont parallèles. Soit J le milieu de [ M N ] . Montrer que A M + A N = 3 A I , puis en déduire que les points A , I et J sont alignés.

Théorème de la droite des milieux par les vecteurs

Intermédiaire

Énoncé

$A B C$ est un triangle et $I$ le milieu de $[B C]$ . On construit les points $M$ et $N$ tels que :

$A M = \frac{3}{2} A B et A N = \frac{3}{2} A C$

Montrer que les droites $(B C)$ et $(M N)$ sont parallèles.
Soit $J$ le milieu de $[M N]$ . Montrer que $A M + A N = 3 A I$ , puis en déduire que les points $A$ , $I$ et $J$ sont alignés.

Indices

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1 Indice 1

Pour montrer que deux droites sont parallèles, exprime le vecteur $\overrightarrow{MN}$ en fonction de $\overrightarrow{BC}$ en utilisant la relation de Chasles et les données sur $M$ et $N$.

2 Indice 2

Pour la deuxième partie, additionne les deux égalités vectorielles données, puis utilise la propriété du milieu $I$ : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AI}$.

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Pour montrer que deux droites sont parallèles, exprime le vecteur $M N$ en fonction de $B C$ en utilisant la relation de Chasles et les données sur $M$ et $N$ .

Pour la deuxième partie, additionne les deux égalités vectorielles données, puis utilise la propriété du milieu $I$ : $A B + A C = 2 A I$ .

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