بطاقة المراجعة — الثانية باكالوريا علوم رياضية

الباكالوريا · المتتاليات، النهايات، الاشتقاق، التكامل، اللوغاريتم، الأسية · atlasmaths.com

∑ المتتاليات العددية (الباكالوريا) 📄 مذكرة ←

التراجع

$u_{n + 1}$ = f( $u_{n}$ ) → الرتابة عبر إشارة $u_{n + 1}$ − $u_{n}$

المتتاليتان المتجاورتان

( $u_{n}$ ) تزايدية + ( $v_{n}$ ) تناقصية + $v_{n}$ − $u_{n}$ →0 → نفس النهاية

التقارب

كل متتالية رتيبة ومحدودة تكون متقاربة

أخطاء يجب تجنّبها

✗متتالية متقاربة ≠ متتالية محدودة (الاستلزام في اتجاه واحد فقط)

lim النهايات والاتصال 📄 مذكرة ←

الأشكال غير المعينة

∞−∞ · 0×∞ · ∞/∞ · 0/0 · 1^∞

رفع الشكل غير المعين للحدوديات

القسمة على الحد ذي الأكبر درجة

رفع الشكل غير المعين مع √

الضرب في المرافق

مبرهنة القيم الوسطية

f متصلة على [a,b], f(a)×f(b)<0 → ∃c∈]a,b[ : f(c)=0

النهايات الاعتيادية

$lim e^{x} / x^{n} = + \infty \cdot lim ln (x) / x^{n} = 0 \cdot lim (1 + 1/ x)^{x} = e$

أخطاء يجب تجنّبها

✗الشكل غير المعين: يجب رفع عدم التعيين — كتابة "شكل غير معين" لا تكفي
✗مبرهنة القيم الوسطية تعطي الوجود لكن ليس الوحدانية (دون توضيح أن f رتيبة قطعا)

f' الاشتقاق 📄 مذكرة ←

المشتقات الاعتيادية

(xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ · ( $x$ )' = 1/(2 $x$ ) · (ln x)' = 1/x · (eˣ)' = eˣ

الجداء

(uv)' = u'v + uv'

الخارج

(u/v)' = (u'v − uv') / v²

المركبة

(f∘g)' = g' × f'(g(x))

مثال : (

e^{x^{2}}

)' = 2x×

e^{x^{2}}

المماس عند x₀

y = f'(x₀)(x−x₀) + f(x₀)

أخطاء يجب تجنّبها

✗(ln(u))' = u'/u (وليس فقط 1/u)
✗إشارة f' → اتجاه تغير الدالة، وليس قيمة f

ln / eˣ الدالة اللوغاريتمية والدالة الأسية 📄 مذكرة ←

ln — الخاصيات

ln(ab) = ln(a)+ln(b) · ln(a/b) = ln(a)−ln(b) · ln(aⁿ) = n×ln(a)

ln(e) = 1

ln(1) = 0 · ln(e) = 1 · $e^{l n (x)}$ = x (x>0)

الدالة الأسية

$e^{a} \times e^{b} = e^{a + b}$ · $\frac{e ^{a}}{e ^{b}} = e^{a - b}$ · $(e^{a})^{b} = e^{ab}$

النمو المقارن

$lim x^{n} e^{x} = + \infty \cdot lim e^{x} / x^{n} = + \infty \cdot lim x^{n} ln x = 0^{+}$

أخطاء يجب تجنّبها

✗ln معرف فقط من أجل x > 0
✗ln(a+b) ≠ ln(a) + ln(b) — خطأ شائع!

للتذكّر

لحل eˣ = k → x = ln(k) · لحل ln(x) = k → x = $e^k$

∫ التكامل 📄 مذكرة ←

الدوال الأصلية الاعتيادية

 $\int x^{n} = x^{n + 1} / (n + 1) \cdot \int 1/ x = ln ∣ x ∣ \cdot \int e^{x} = e^{x} \cdot \int cos = sin \cdot \int sin = - cos$

التكامل بالأجزاء

$\int u v^{'} = [uv] - \int u^{'} v$

مثال :

\int x \cdot e^{x} d x = x \cdot e^{x} - \int e^{x} d x = (x - 1) e^{x} + C

الخطية

$\int (a f + b g) = a \int f + b \int g$

علاقة شال

∫ $_{a}^{c}$ f = ∫ $_{a}^{b}$ f + ∫ $_{β}^{c}$ f

المتفاوتات

 $f \geq 0$  على  $[a, b] \Rightarrow a \int b f \geq 0$  ;  $m \leq f \leq M \Rightarrow m (b - a) \leq \int f \leq M (b - a)$

المساحة بين منحنيين

المساحة = ∫ $_{a}^{b}$ |f(x)−g(x)|dx

أخطاء يجب تجنّبها

✗∫ $_{a}^{b}$ f = F(b) − F(a) (وليس F(a) − F(b))
✗لا تنس الثابت C بالنسبة للدوال الأصلية دون حدود

ℂ الأعداد العقدية 📄 مذكرة ←

الشكل الجبري

z = a + ib (a = Re(z), b = Im(z), i² = −1)

المعيار

|z| = $a^{2} + b^{2}$ | |z·z'| = |z|·|z'| | |z/z'| = |z|/|z'|

المرافق

$\overline{z}$ = a − ib | z· $\overline{z}$ = |z|² | Re(z) = (z+ $\overline{z}$ )/2

الشكل المثلثي

z = r(cosθ + i·sinθ) حيث r = |z|, θ = arg(z)

الشكل الأسي

z = r· $e^{i θ}$ (صيغة أويلر: $e^{i θ}$ = cosθ + i·sinθ)

الضرب

r· $e^{i θ}$ × r'· $e^{i θ^{'}}$ = rr'· $e^{i (θ + θ^{'})}$ → المعايير ×، العمدات +

صيغة موافر

(cosθ + i·sinθ)ⁿ = cos(nθ) + i·sin(nθ)

الجذور النونية

zⁿ = a → n جذور: $z_{k}$ = $r^{1/ n}$ · $e^{i (θ + 2 k π) / n}$ , k=0..n−1

أخطاء يجب تجنّبها

✗arg(z·z') = arg(z) + arg(z') بترديد 2π — لا تنس الترديد
✗|z + z'| ≤ |z| + |z'| (المتفاوتة المثلثية)
✗للقسمة: اضرب في مرافق المقام

للتذكّر

النقط في المستوى: M(z) → اللحق z = x + iy. المسافة: |z₂ − z₁| = M₁M₂

🎲 الاحتمالات والعد 📄 مذكرة ←

الترتيبات

$A_{n}^{p}$ = n!/(n−p)!

مثال : A₅² = 5×4 = 20

التوفيقات

$C_{n}^{p}$ = n! / (p!(n−p)!)

مثال : C₅² = 10

الاحتمال الشرطي

P(A|B) = P(A∩B) / P(B)

صيغة الاحتمالات الكلية

P(A) = P(A|B)P(B) + P(A| $\overline{B}$ )P( $\overline{B}$ )

مبرهنة بايز

P(B|A) = P(A|B)·P(B) / P(A)

القانون الحدي

X∼B(n,p) : P(X=k) = $C_{n}^{k}$ · $p^{k}$ ·(1−p)ⁿ⁻ $^{k}$ | E(X)=np | V(X)=np(1−p)

القانون الطبيعي

X∼N(μ,σ²) : P(μ−σ≤X≤μ+σ) ≈ 0.68 | P(μ−2σ≤X≤μ+2σ) ≈ 0.95

أخطاء يجب تجنّبها

✗P(A∩B) = P(A)×P(B) فقط إذا كان A و B مستقلين
✗ $C_{n}^{p}$ = $C_{n}$ ⁿ⁻ $^{p}$ — مفيد لتبسيط الحسابات
✗بايز: حدد جيدا أي حدث هو "السبب" وأيها "النتيجة"

للتذكّر

المتغير المركز المختزل: Z = (X−μ)/σ → Z∼N(0,1). اقرأ جدول القانون الطبيعي المعياري.

y' المعادلات التفاضلية 📄 مذكرة ←

الرتبة 1 — y' = ay

الحل العام: y = C· $e^{a}$ ˣ (C ∈ ℝ)

مثال : y'=2y → y=C

e^{2 x}

الرتبة 1 — y' = ay + b

ابحث عن حل خاص $y_{p}$ =k (ثابت)، ثم y=C $e^{a x}$ +k

الرتبة 1 — y' + py = q

الحل المتجانس: $y_{h}$ = C $e^{- p x}$ . أضف $y_{p}$ .

الرتبة 2 — y''+ py' + qy = 0

المعادلة المميزة: r²+pr+q=0. حسب Δ: جذران حقيقيان، جذر مضاعف، أو جذران عقديان.

Δ > 0 (r₁≠r₂ حقيقيان)

y = C₁ $e^{r_{1} x}$ + C₂ $e^{r_{2} x}$

Δ = 0 (جذر مضاعف r₀)

y = (C₁ + C₂x) $e^{r_{0} x}$

Δ < 0 (r = α±iβ)

y = $e^{α x}$ (C₁cos(βx) + C₂sin(βx))

أخطاء يجب تجنّبها

✗لا تخلط بين "حل" المعادلة التفاضلية و"التحقق" من حل
✗الشرط البدئي y(x₀)=y₀ → تحديد الثابت C
✗الحل العام = الحل المتجانس + الحل الخاص

للتذكّر

تحقق دائما من الحل بتعويضه في المعادلة التفاضلية.

🔢 الحسابيات (متقدم) 📄 مذكرة ←

القسمة الأقليدية

a = bq + r مع 0 ≤ r < b | PGCD(a,b) = PGCD(b,r)

خوارزمية أقليدس

قسمات متتالية حتى الباقي 0 → آخر باقٍ غير منعدم = القاسم المشترك الأكبر

مثال : PGCD(48,18) : 48=18×2+12 · 18=12×1+6 · 12=6×2+0 → PGCD=6

مبرهنة بيزو

PGCD(a,b)=d ⇔ ∃u,v∈ℤ : au+bv=d | PGCD(a,b)=1 ⇔ ∃u,v : au+bv=1

مبرهنة غاوس

a|bc و PGCD(a,b)=1 ⇒ a|c

التوافقات

a≡b[n] ⇔ n|(a−b) | إذا a≡b[n] و c≡d[n] → a+c≡b+d[n] و ac≡bd[n]

مبرهنة فيرما

p أولي، PGCD(a,p)=1 ⇒ $a^{p}$ ⁻¹ ≡ 1[p] | نتيجة: $a^{p}$ ≡ a[p]

نظمة توافقات

CRT (الصيني): إذا PGCD(n₁,n₂)=1 → النظمة تقبل حلا وحيدا بترديد n₁n₂

أخطاء يجب تجنّبها

✗a≡0[n] ⇔ n|a (a قابل للقسمة على n)
✗فيرما: صالحة إذا كان p أوليا و a غير قابل للقسمة على p
✗بيزو: المعاملان u,v ليسا وحيدين

للتذكّر

الطريقة: حل au+bv=d → إيجاد حل خاص بخوارزمية أقليدس → الحل العام: u = u₀+(b/d)k, v = v₀−(a/d)k

⚙️ البنيات الجبرية 📄 مذكرة ←

الزمرة (G,★)

① الانغلاق ② التجميعية ③ العنصر المحايد e ④ كل عنصر له مماثل (مقلوب)

زمرة تبادلية (أبيلية)

زمرة + ∀a,b : a★b = b★a

الحلقة (A,+,×)

(A,+) زمرة تبادلية + × تجميعية + × توزيعية على + | إذا كان × تبادليا → حلقة تبادلية

الجسم (K,+,×)

حلقة تبادلية + كل عنصر غير منعدم قابل للقلب بالنسبة لـ ×

الزمرة الجزئية

H ≤ G ⇔ H≠∅ و ∀a,b∈H : a★b⁻¹∈H

تشاكل الزمر

f:(G,★)→(H,△) تشاكل إذا f(a★b) = f(a)△f(b) ∀a,b∈G

الفضاء المتجهي

(E,+) زمرة تبادلية + ضرب سلمي · يحقق: λ(u+v)=λu+λv · (λ+μ)u=λu+μu · (λμ)u=λ(μu) · 1·u=u

الفضاء المتجهي الجزئي

F ⊂ E فضاء متجهي جزئي إذا: 0∈F · ∀u,v∈F, u+v∈F · ∀λ∈K, ∀u∈F, λu∈F

أسرة حرة/مولدة

حرة: Σ $λ_{i} v_{i}$ =0 ⇒  $λ_{i}$ =0. مولدة: كل متجهة تركيب خطي. الأساس = حرة + مولدة.

أخطاء يجب تجنّبها

✗تحقق من الانغلاق أولا (يجب أن تبقى العملية داخل المجموعة)
✗العنصر المحايد وحيد في الزمرة
✗الفضاء المتجهي الجزئي: تحقق دائما أن $0$ ∈ F (وإلا فإن F ليس فضاء متجهيا جزئيا)
✗الجسم: القسمة على 0 ممنوعة — تحقق من أن المقام غير منعدم

للتذكّر

طريقة التقابل التشاكلي: بين أنه تقابلي + تشاكل. التقابل التشاكلي ⇒ نفس البنية الجبرية.

🧊 الهندسة في الفضاء 📄 مذكرة ←

المتجهات في ℝ³

$u^{\to}$ (x,y,z) · المعيار: ‖ $u^{\to}$ ‖ = $x^{2} + y^{2} + z^{2}$

الجداء السلمي

$u^{\to}$ · $v^{\to}$ = xx'+yy'+zz' | $u^{\to}$ ⊥ $v^{\to}$ ⇔ $u^{\to}$ · $v^{\to}$ = 0

معادلة مستوى

ax + by + cz + d = 0 → متجهة منظمية: $n^{\to}$ (a,b,c)

المسافة من نقطة إلى مستوى

d(A, المستوى) = |ax₀+by₀+cz₀+d| / $a^{2} + b^{2} + c^{2}$

معادلة مستقيم

(D) : (x−x₀)/a = (y−y₀)/b = (z−z₀)/c → متجهة موجهة $u^{\to}$ (a,b,c)

التوازي المستوي

A, B, C, D في نفس المستوى ⇔ det( $A B$ , $A C$ , $A D$ ) = 0

الفلكة

(x−a)²+(y−b)²+(z−c)² = r² → المركز Ω(a,b,c)، الشعاع r

أخطاء يجب تجنّبها

✗المتجهة المنظمية للمستوى ≠ المتجهة الموجهة للمستقيم
✗مستويان متوازيان ⇔ منظميتاهما مستقيميتان
✗مستقيم ⊂ مستوى ⇔ المتجهة الموجهة ⊥ منظمية المستوى و نقطة من المستقيم تنتمي إلى المستوى

للتذكّر

الجداء المتجهي $u^{\to}$∧$v^{\to}$ عمودي على $u^{\to}$ و $v^{\to}$ — مفيد لإيجاد منظمية مستوى.

△ هندسة المثلث — صيغ متقدمة 📄 مذكرة ←

قانون جيوب التمام

a² = b² + c² − 2bc·cos(Â) (تعميم فيتاغورس)

مثال : cos(Â)=(b²+c²−a²)/(2bc)

صيغة المتوسط

$m_{a}$ ² = (2b²+2c²−a²)/4 حيث $m_{a}$ = طول المتوسط الصادر من A

الارتفاع

$h_{a}$ = (2·المساحة) / a · $h_{a}$ = bc·sin(Â)/a

المساحة — 3 صيغ

S = ½·القاعدة·الارتفاع = ½·bc·sin(Â) = abc/(4R) = p·r

مثال : p = (a+b+c)/2 = نصف المحيط

صيغة هيرون

S = $p (p - a) (p - b) (p - c)$ مع p=(a+b+c)/2

الدائرة المحيطة R

R = abc/(4S) = a/(2sin(Â)) (مبرهنة الجيوب: a/sin(Â) = 2R)

الدائرة المحاطة r

r = S/p (S = المساحة، p = نصف المحيط)

الرباعي الدائري

ABCD محاط بدائرة ⇔ Â+Ĉ = 180° و B̂+D̂ = 180°

الزاوية المحيطية/المركزية

الزاوية المركزية = 2 × الزاوية المحيطية التي تحصر نفس القوس  →  AOB = 2·AMB

مبرهنة طاليس

إذا (EF) ∥ (BC) : EA/EB = FA/FC = EF/BC

أخطاء يجب تجنّبها

✗قانون جيوب التمام: حدد جيدا الزاوية المقابلة للضلع المطلوب
✗صيغة هيرون: احسب أولا p، ثم كل (p−الضلع)
✗الزاوية المحيطية = نصف الزاوية المركزية (وليست مساوية لها)
✗طاليس: النسب متساوية بالقيمة المطلقة — انتبه للإشارات إذا اشتغلت في معلم

للتذكّر

مساحة المثلث: S = ½bc·sin(Â). شعاع الدائرة المحيطة: R = abc/(4S). شعاع الدائرة المحاطة: r = S/p. مبرهنة الجيوب: a/sin(Â) = b/sin(B̂) = c/sin(Ĉ) = 2R

≤ المتفاوتات الكلاسيكية (الباكالوريا والأولمبياد) 📄 مذكرة ←

المتفاوتة المثلثية

|a + b| ≤ |a| + |b| · ||a| − |b|| ≤ |a − b|

مثال : أداة أساسية للمعايير والأعداد العقدية

AM-GM (عددان حقيقيان)

(a + b)/2 ≥ $ab$ من أجل a,b ≥ 0 · المساواة ⇔ a = b

AM-GM (n أعداد حقيقية)

(a₁+a₂+…+ $a_{n}$ )/n ≥ (a₁·a₂·…· $a_{n}$ )^(1/n) من أجل $a_{i}$ ≥ 0

المتوسط التربيعي

$(a^{2} + b^{2}) /2$ ≥ (a+b)/2 ≥ $ab$ ≥ 2/(1/a+1/b) (QM ≥ AM ≥ GM ≥ HM)

كوشي-شفارز (متغيران)

(ac + bd)² ≤ (a²+b²)(c²+d²) · المساواة ⇔ a/c = b/d

مثال : أو: (Σ

a_{i} b_{i}

)² ≤ (Σ

a_{i}

²)(Σ

b_{i}

²)

كوشي-شفارز (3 متغيرات)

(a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃)² ≤ (a₁²+a₂²+a₃²)(b₁²+b₂²+b₃²)

تشيبيشيف

إذا a₁≥a₂≥…≥ $a_{n}$  و b₁≥b₂≥…≥ $b_{n}$  : n·Σ $a_{i} b_{i}$  ≥ (Σ $a_{i}$ )(Σ $b_{i}$ )  ·  المتفاوتة معكوسة إذا كان الترتيبان متعاكسين

متفاوتة برنولي

(1+x)ⁿ ≥ 1 + nx من أجل x ≥ −1 و n ∈ ℕ · المساواة ⇔ x=0 أو n=1

أخطاء يجب تجنّبها

✗AM-GM: صالحة فقط من أجل أعداد حقيقية موجبة أو منعدمة
✗كوشي-شفارز: تتحقق المساواة عندما تكون المتجهتان مستقيميتين (a/c = b/d)
✗تشيبيشيف: تنعكس المتفاوتة إذا كانت المتتاليتان في ترتيبين متعاكسين (إحداهما تزايدية والأخرى تناقصية)
✗|ab| = |a|·|b| لكن |a+b| ≤ |a|+|b| (ليست مساواة في الحالة العامة)

للتذكّر

تقنية الأولمبياد: لتصغير/تكبير عبارة، حدد أي متفاوتة تعطي المساواة مع شروط المسألة (AM-GM إذا كان جداء، كوشي-شفارز إذا كان مجموع جداءات).

بطاقة من إنجاز Atlasmaths · منصة الرياضيات للتلاميذ المغاربة

بطاقة المراجعة — الثانية باكالوريا علوم رياضية

∑ المتتاليات العددية (الباكالوريا) 📄 مذكرة ←

lim النهايات والاتصال 📄 مذكرة ←

f' الاشتقاق 📄 مذكرة ←

ln / eˣ الدالة اللوغاريتمية والدالة الأسية 📄 مذكرة ←

∫ التكامل 📄 مذكرة ←

ℂ الأعداد العقدية 📄 مذكرة ←

🎲 الاحتمالات والعد 📄 مذكرة ←

y' المعادلات التفاضلية 📄 مذكرة ←

🔢 الحسابيات (متقدم) 📄 مذكرة ←

⚙️ البنيات الجبرية 📄 مذكرة ←

🧊 الهندسة في الفضاء 📄 مذكرة ←

△ هندسة المثلث — صيغ متقدمة 📄 مذكرة ←

≤ المتفاوتات الكلاسيكية (الباكالوريا والأولمبياد) 📄 مذكرة ←

Installe Atlasmaths sur ton téléphone