📄 مذكرة الثانية باكالوريا علوم رياضية

⚙️ البنيات الجبرية

كل الفصل في صفحة واحدة : الصيغ، الطريقة، الأخطاء. اقرأها 5 دقائق قبل الفرض.

📐الصيغ الأساسية

الزمرة (G,★)

① الانغلاق ② التجميعية ③ العنصر المحايد e ④ كل عنصر له مماثل (مقلوب)

زمرة تبادلية (أبيلية)

زمرة + ∀a,b : a★b = b★a

الحلقة (A,+,×)

(A,+) زمرة تبادلية + × تجميعية + × توزيعية على + | إذا كان × تبادليا → حلقة تبادلية

الجسم (K,+,×)

حلقة تبادلية + كل عنصر غير منعدم قابل للقلب بالنسبة لـ ×

الزمرة الجزئية

H ≤ G ⇔ H≠∅ و ∀a,b∈H : a★b⁻¹∈H

تشاكل الزمر

f:(G,★)→(H,△) تشاكل إذا f(a★b) = f(a)△f(b) ∀a,b∈G

الفضاء المتجهي

(E,+) زمرة تبادلية + ضرب سلمي · يحقق: λ(u+v)=λu+λv · (λ+μ)u=λu+μu · (λμ)u=λ(μu) · 1·u=u

الفضاء المتجهي الجزئي

F ⊂ E فضاء متجهي جزئي إذا: 0∈F · ∀u,v∈F, u+v∈F · ∀λ∈K, ∀u∈F, λu∈F

أسرة حرة/مولدة

حرة: Σ $λ_{i} v_{i}$ =0 ⇒  $λ_{i}$ =0. مولدة: كل متجهة تركيب خطي. الأساس = حرة + مولدة.

🪜الطريقة النموذجية

حدّد المجموعة $E$ والقانون $*$ ؛ تحقّق أولاً من الاستقرار: $\forall (x, y) \in E^{2}, x * y \in E$ .
اختبر التجميعية: $\forall (x, y, z), (x * y) * z = x * (y * z)$ .
ابحث عن العنصر المحايد $e$ بحيث $\forall x, x * e = e * x = x$ .
حدّد مماثل كل عنصر $x$ : أوجد $x^{'}$ بحيث $x * x^{'} = e$ ؛ إذا كان كل عنصر قابلاً للمماثلة، فإن $(E, *)$ زمرة.
تحقّق من التبادلية ( $x * y = y * x$ ) لاستنتاج أنها زمرة تبادلية.
بالنسبة لحلقة/جسم: تحقّق من القانونين $(+, \times)$ ، والتوزيعية، والوحدة، ثم قابلية كل عنصر غير منعدم للقلب (جسم).