📄 مذكرة الثانية باكالوريا علوم رياضية

y' المعادلات التفاضلية

كل الفصل في صفحة واحدة : الصيغ، الطريقة، الأخطاء. اقرأها 5 دقائق قبل الفرض.

📐الصيغ الأساسية

الرتبة 1 — y' = ay

الحل العام: y = C· $e^{a}$ ˣ (C ∈ ℝ)

مثال : y'=2y → y=C

e^{2 x}

الرتبة 1 — y' = ay + b

ابحث عن حل خاص $y_{p}$ =k (ثابت)، ثم y=C $e^{a x}$ +k

الرتبة 1 — y' + py = q

الحل المتجانس: $y_{h}$ = C $e^{- p x}$ . أضف $y_{p}$ .

الرتبة 2 — y''+ py' + qy = 0

المعادلة المميزة: r²+pr+q=0. حسب Δ: جذران حقيقيان، جذر مضاعف، أو جذران عقديان.

Δ > 0 (r₁≠r₂ حقيقيان)

y = C₁ $e^{r_{1} x}$ + C₂ $e^{r_{2} x}$

Δ = 0 (جذر مضاعف r₀)

y = (C₁ + C₂x) $e^{r_{0} x}$

Δ < 0 (r = α±iβ)

y = $e^{α x}$ (C₁cos(βx) + C₂sin(βx))

🪜الطريقة النموذجية

حدّد نوع المعادلة: من الرتبة الأولى $y^{'} = a y + b$ ، أو من الرتبة الثانية $y^{''} + ω^{2} y = 0$ .
بالنسبة للمعادلة $y^{'} = a y$ ، الحل العام هو $y (x) = K e^{a x}$ مع $K \in R$ .
بالنسبة للمعادلة $y^{'} = a y + b$ (مع $a \neq = 0$ )، ابحث عن الحل الخاص الثابت $y_{p} = - \frac{b}{a}$ ثم اجمع: $y (x) = K e^{a x} - \frac{b}{a}$ .
بالنسبة للمعادلة $y^{''} + ω^{2} y = 0$ ، اكتب الحل العام $y (x) = A cos (ω x) + B sin (ω x)$ .
ترجم الشروط البدئية (قيم $y$ و $y^{'}$ عند نقطة) إلى معادلات على الثوابت.
حلّ النظام لتحديد الثوابت، ثم اكتب الحل النهائي الوحيد.