📄 مذكرة الثانية باكالوريا علوم رياضية

🧊 الهندسة في الفضاء

كل الفصل في صفحة واحدة : الصيغ، الطريقة، الأخطاء. اقرأها 5 دقائق قبل الفرض.

📐الصيغ الأساسية

المتجهات في ℝ³

$u^{\to}$ (x,y,z) · المعيار: ‖ $u^{\to}$ ‖ = $x^{2} + y^{2} + z^{2}$

الجداء السلمي

$u^{\to}$ · $v^{\to}$ = xx'+yy'+zz' | $u^{\to}$ ⊥ $v^{\to}$ ⇔ $u^{\to}$ · $v^{\to}$ = 0

معادلة مستوى

ax + by + cz + d = 0 → متجهة منظمية: $n^{\to}$ (a,b,c)

المسافة من نقطة إلى مستوى

d(A, المستوى) = |ax₀+by₀+cz₀+d| / $a^{2} + b^{2} + c^{2}$

معادلة مستقيم

(D) : (x−x₀)/a = (y−y₀)/b = (z−z₀)/c → متجهة موجهة $u^{\to}$ (a,b,c)

التوازي المستوي

A, B, C, D في نفس المستوى ⇔ det( $A B$ , $A C$ , $A D$ ) = 0

الفلكة

(x−a)²+(y−b)²+(z−c)² = r² → المركز Ω(a,b,c)، الشعاع r

🪜الطريقة النموذجية

اختر معلماً متعامداً ممنظماً وعبّر عن النقط بإحداثياتها؛ كوّن المتجهات المفيدة.
الجداء السلمي: $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ للزوايا والتعامد ( $u \cdot v = 0$ ).
الجداء المتجهي $u \land v$ : متجهة ناظمية لمستوى والمساحة ( $\frac{1}{2} ∥ u \land v ∥$ ).
معادلة المستوى: خذ متجهة ناظمية $n (a, b, c)$ ونقطة $A$ ، واكتب $a (x - x_{A}) + b (y - y_{A}) + c (z - z_{A}) = 0$ .
المستقيم: تمثيل بارامتري $M = A + t u$ ، $t \in R$ .
المسافة بين نقطة ومستوى: $d (M, P) = \frac{∣ a x _{M} + b y _{M} + c z _{M} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$ .

⚠️أخطاء يجب تجنّبها

المتجهة المنظمية للمستوى ≠ المتجهة الموجهة للمستقيم
مستويان متوازيان ⇔ منظميتاهما مستقيميتان
مستقيم ⊂ مستوى ⇔ المتجهة الموجهة ⊥ منظمية المستوى و نقطة من المستقيم تنتمي إلى المستوى

💡

للتذكّر

الجداء المتجهي $u^{\to}$∧$v^{\to}$ عمودي على $u^{\to}$ و $v^{\to}$ — مفيد لإيجاد منظمية مستوى.

✍️تمرين نموذجي

لتكن $A (1, 0, 2)$ ، $B (2, 1, 0)$ ، $C (0, 1, 1)$ . حدّد معادلة للمستوى $(A B C)$ ثم المسافة من $O$ إلى هذا المستوى.

عرض التصحيح ▾

$A B (1, 1, - 2)$ ، $A C (- 1, 1, - 1)$ .

المتجهة الناظمية: $n = A B \land A C = (1 \cdot (- 1) - (- 2) \cdot 1, (- 2) \cdot (- 1) - 1 \cdot (- 1), 1 \cdot 1 - 1 \cdot (- 1)) = (1, 3, 2)$ .

المعادلة: $1 (x - 1) + 3 (y - 0) + 2 (z - 2) = 0 ⟺ x + 3 y + 2 z - 5 = 0$ .

المسافة: $d (O, P) = \frac{∣ - 5 ∣}{1 ^{2} + 3 ^{2} + 2 ^{2}} = \frac{5}{14} = \frac{5 14}{14}$ .

🎯

والآن، تدرّب

تمارين مصححة حول هذا الفصل في انتظارك

←

مذكرات أخرى — الثانية باكالوريا علوم رياضية

∑المتتاليات العددية (الباكالوريا) limالنهايات والاتصال f'الاشتقاق ln / eˣالدالة اللوغاريتمية والدالة الأسية ∫التكامل ℂالأعداد العقدية 🎲الاحتمالات والعد y'المعادلات التفاضلية 🔢الحسابيات (متقدم) ⚙️البنيات الجبرية △هندسة المثلث — صيغ متقدمة ≤المتفاوتات الكلاسيكية (الباكالوريا والأولمبياد)

🧊 الهندسة في الفضاء

مذكرات أخرى — الثانية باكالوريا علوم رياضية

Installe Atlasmaths sur ton téléphone