📄 مذكرة الثانية باكالوريا علوم رياضية

ℂ الأعداد العقدية

كل الفصل في صفحة واحدة : الصيغ، الطريقة، الأخطاء. اقرأها 5 دقائق قبل الفرض.

📐الصيغ الأساسية

الشكل الجبري

z = a + ib (a = Re(z), b = Im(z), i² = −1)

المعيار

|z| = $a^{2} + b^{2}$ | |z·z'| = |z|·|z'| | |z/z'| = |z|/|z'|

المرافق

$\overline{z}$ = a − ib | z· $\overline{z}$ = |z|² | Re(z) = (z+ $\overline{z}$ )/2

الشكل المثلثي

z = r(cosθ + i·sinθ) حيث r = |z|, θ = arg(z)

الشكل الأسي

z = r· $e^{i θ}$ (صيغة أويلر: $e^{i θ}$ = cosθ + i·sinθ)

الضرب

r· $e^{i θ}$ × r'· $e^{i θ^{'}}$ = rr'· $e^{i (θ + θ^{'})}$ → المعايير ×، العمدات +

صيغة موافر

(cosθ + i·sinθ)ⁿ = cos(nθ) + i·sin(nθ)

الجذور النونية

zⁿ = a → n جذور: $z_{k}$ = $r^{1/ n}$ · $e^{i (θ + 2 k π) / n}$ , k=0..n−1

🪜الطريقة النموذجية

تحديد الشكل الملائم: الجبري $z = x + i y$ للمجاميع والجزأين الحقيقي والتخيلي، الأسي $z = r e^{i θ}$ للجداءات، القوى والجذور.
حساب المعيار $∣ z ∣ = x^{2} + y^{2}$ وعمدة $θ$ بحيث $cos θ = \frac{x}{∣ z ∣}$ و $sin θ = \frac{y}{∣ z ∣}$ .
بالنسبة لمعادلة من الدرجة الثانية $a z^{2} + b z + c = 0$ ، نحسب $Δ$ ونكتب $z = \frac{- b \pm δ}{2 a}$ مع $δ^{2} = Δ$ .
بالنسبة للهندسة، نترجم باستعمال الألحاق: $A B$ لحقه $z_{B} - z_{A}$ ، و $\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}}$ يعطي الأطوال والزوايا.
التأويل: $\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}}$ حقيقي $\Rightarrow$ استقامية، تخيلي صرف $\Rightarrow$ تعامد، معياره $1$ وعمدته $\frac{π}{2}$ $\Rightarrow$ مثلث قائم الزاوية ومتساوي الساقين.
الاستنتاج هندسياً (طبيعة المثلث، دوران بزاوية $ar g$ ، تشابه) والتحقق من انسجام النتائج.

⚠️أخطاء يجب تجنّبها

arg(z·z') = arg(z) + arg(z') بترديد 2π — لا تنس الترديد
|z + z'| ≤ |z| + |z'| (المتفاوتة المثلثية)
للقسمة: اضرب في مرافق المقام

💡

للتذكّر

النقط في المستوى: M(z) → اللحق z = x + iy. المسافة: |z₂ − z₁| = M₁M₂

✍️تمرين نموذجي

نعتبر $a = 1 + i$ و $b = 3 + i$ .

1) اكتب $a$ و $b$ على الشكل الأسي.

2) استنتج الشكل الأسي لـ $z = \frac{b}{a}$ ، ثم القيمتين المضبوطتين لـ $cos \frac{π}{12}$ و $sin \frac{π}{12}$ .

عرض التصحيح ▾

1) $∣ a ∣ = 2$ و $ar g (a) = \frac{π}{4}$ إذن $a = 2 e^{i \frac{π}{4}}$ .
$∣ b ∣ = 2$ و $ar g (b) = \frac{π}{6}$ إذن $b = 2 e^{i \frac{π}{6}}$ .

2) $z = \frac{b}{a} = \frac{2}{2} e^{i (\frac{π}{6} - \frac{π}{4})} = 2 e^{- i \frac{π}{12}}$ .

من جهة أخرى $z = \frac{b}{a} = \frac{( 3 + i ) ( 1 - i )}{( 1 + i ) ( 1 - i )} = \frac{( 3 + 1 ) + ( 1 - 3 ) i}{2}$ .

إذن $2 cos \frac{π}{12} = \frac{3 + 1}{2}$ ومنه $cos \frac{π}{12} = \frac{6 + 2}{4}$ ، و $2 sin \frac{π}{12} = \frac{3 - 1}{2}$ ومنه $sin \frac{π}{12} = \frac{6 - 2}{4}$ .

🎯

والآن، تدرّب

تمارين مصححة حول هذا الفصل في انتظارك

←

مذكرات أخرى — الثانية باكالوريا علوم رياضية

∑المتتاليات العددية (الباكالوريا) limالنهايات والاتصال f'الاشتقاق ln / eˣالدالة اللوغاريتمية والدالة الأسية ∫التكامل 🎲الاحتمالات والعد y'المعادلات التفاضلية 🔢الحسابيات (متقدم) ⚙️البنيات الجبرية 🧊الهندسة في الفضاء △هندسة المثلث — صيغ متقدمة ≤المتفاوتات الكلاسيكية (الباكالوريا والأولمبياد)

ℂ الأعداد العقدية

مذكرات أخرى — الثانية باكالوريا علوم رياضية

Installe Atlasmaths sur ton téléphone