📄 مذكرة الثانية باكالوريا علوم رياضية

🔢 الحسابيات (متقدم)

كل الفصل في صفحة واحدة : الصيغ، الطريقة، الأخطاء. اقرأها 5 دقائق قبل الفرض.

📐الصيغ الأساسية

القسمة الأقليدية

a = bq + r مع 0 ≤ r < b | PGCD(a,b) = PGCD(b,r)

خوارزمية أقليدس

قسمات متتالية حتى الباقي 0 → آخر باقٍ غير منعدم = القاسم المشترك الأكبر

مثال : PGCD(48,18) : 48=18×2+12 · 18=12×1+6 · 12=6×2+0 → PGCD=6

مبرهنة بيزو

PGCD(a,b)=d ⇔ ∃u,v∈ℤ : au+bv=d | PGCD(a,b)=1 ⇔ ∃u,v : au+bv=1

مبرهنة غاوس

a|bc و PGCD(a,b)=1 ⇒ a|c

التوافقات

a≡b[n] ⇔ n|(a−b) | إذا a≡b[n] و c≡d[n] → a+c≡b+d[n] و ac≡bd[n]

مبرهنة فيرما

p أولي، PGCD(a,p)=1 ⇒ $a^{p}$ ⁻¹ ≡ 1[p] | نتيجة: $a^{p}$ ≡ a[p]

نظمة توافقات

CRT (الصيني): إذا PGCD(n₁,n₂)=1 → النظمة تقبل حلا وحيدا بترديد n₁n₂

🪜الطريقة النموذجية

ترجم القابلية للقسمة: $a ∣ b$ تعني $b = k a$ مع $k \in Z$ ، واستدلّ باستعمال الموافقات $a \equiv b [n]$ .
بالنسبة للموافقات، استثمر التوافق مع الجمع والجداء، واختزل القوى بالبحث عن دور للبواقي بترديد $n$ .
احسب $pgcd (a, b)$ بخوارزمية أقليدس، ثم اصعد للحصول على علاقة بيزو $a u + b v = pgcd (a, b)$ .
طبّق مبرهنة بيزو ( $a$ و $b$ أوّليان فيما بينهما $⟺ \exists u, v, a u + b v = 1$ ) ومبرهنة غاوس (إذا كان $a ∣ b c$ و $a \land b = 1$ فإن $a ∣ c$ ).
بالنسبة للقوى الكبيرة بترديد عدد أوّلي $p$ ، استعمل مبرهنة فيرما الصغرى: $a^{p - 1} \equiv 1 [p]$ إذا كان $p ∤ a$ .
استنتج (مجموعة الحلول، القابلية للقسمة المطلوبة، الرقم الأخير) وتحقّق على حالة خاصة.

⚠️أخطاء يجب تجنّبها

💡

للتذكّر

الطريقة: حل au+bv=d → إيجاد حل خاص بخوارزمية أقليدس → الحل العام: u = u₀+(b/d)k, v = v₀−(a/d)k

✍️تمرين نموذجي

1) حدّد باقي القسمة الأقليدية للعدد $2^{2026}$ على $7$ .

2) بيّن أنه لكل عدد صحيح $n$ ، $7 ∣ 2^{3 n} - 1$ .

عرض التصحيح ▾

1) قوى $2$ بترديد $7$ : $2^{1} \equiv 2$ ، $2^{2} \equiv 4$ ، $2^{3} \equiv 1 [7]$ . طول الدور هو $3$ .

نكتب $2026 = 3 \times 675 + 1$ ، إذن $2^{2026} = (2^{3})^{675} \times 2^{1} \equiv 1^{675} \times 2 \equiv 2 [7]$ .

الباقي هو $2$ .

2) $2^{3 n} = (2^{3})^{n} = 8^{n} \equiv 1^{n} \equiv 1 [7]$ ، إذن $2^{3 n} - 1 \equiv 0 [7]$ ، أي $7 ∣ 2^{3 n} - 1$ .

مذكرات أخرى — الثانية باكالوريا علوم رياضية