📄 مذكرة الثانية باكالوريا علوم رياضية

≤ المتفاوتات الكلاسيكية (الباكالوريا والأولمبياد)

كل الفصل في صفحة واحدة : الصيغ، الطريقة، الأخطاء. اقرأها 5 دقائق قبل الفرض.

📐الصيغ الأساسية

المتفاوتة المثلثية

|a + b| ≤ |a| + |b| · ||a| − |b|| ≤ |a − b|

مثال : أداة أساسية للمعايير والأعداد العقدية

AM-GM (عددان حقيقيان)

(a + b)/2 ≥ $ab$ من أجل a,b ≥ 0 · المساواة ⇔ a = b

AM-GM (n أعداد حقيقية)

(a₁+a₂+…+ $a_{n}$ )/n ≥ (a₁·a₂·…· $a_{n}$ )^(1/n) من أجل $a_{i}$ ≥ 0

المتوسط التربيعي

$(a^{2} + b^{2}) /2$ ≥ (a+b)/2 ≥ $ab$ ≥ 2/(1/a+1/b) (QM ≥ AM ≥ GM ≥ HM)

كوشي-شفارز (متغيران)

(ac + bd)² ≤ (a²+b²)(c²+d²) · المساواة ⇔ a/c = b/d

مثال : أو: (Σ

a_{i} b_{i}

)² ≤ (Σ

a_{i}

²)(Σ

b_{i}

²)

كوشي-شفارز (3 متغيرات)

(a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃)² ≤ (a₁²+a₂²+a₃²)(b₁²+b₂²+b₃²)

تشيبيشيف

إذا a₁≥a₂≥…≥ $a_{n}$  و b₁≥b₂≥…≥ $b_{n}$  : n·Σ $a_{i} b_{i}$  ≥ (Σ $a_{i}$ )(Σ $b_{i}$ )  ·  المتفاوتة معكوسة إذا كان الترتيبان متعاكسين

متفاوتة برنولي

(1+x)ⁿ ≥ 1 + nx من أجل x ≥ −1 و n ∈ ℕ · المساواة ⇔ x=0 أو n=1

🪜الطريقة النموذجية

حدّد الصيغة: مجموع/جداء (المتوسط الحسابي-الهندسي)، جداء سلمي أو مجاميع مربعات (كوشي-شوارز)، دالة (التحدب/جنسن).
المتوسط الحسابي-الهندسي: من أجل $x_{i} \geq 0$ ، $\frac{x _{1} + \dots + x _{n}}{n} \geq n x_{1} \dots x_{n}$ ، مع المساواة إذا كانت كلها متساوية.
كوشي-شوارز: $(\sum a_{i} b_{i})^{2} \leq (\sum a_{i}^{2}) (\sum b_{i}^{2})$ ، مع المساواة إذا كانت متناسبة.
التحدب: إذا كان $f^{''} \geq 0$ ، فإن $f$ محدبة؛ متفاوتة جنسن $f (\frac{\sum x _{i}}{n}) \leq \frac{\sum f ( x _{i} )}{n}$ .
نمّط/جانس إذا لزم الأمر، أو ضع تعويضاً لإرجاع المسألة إلى متفاوتة معروفة.
علّل حالة المساواة واستنتج بإتقان.

⚠️أخطاء يجب تجنّبها

AM-GM: صالحة فقط من أجل أعداد حقيقية موجبة أو منعدمة
كوشي-شفارز: تتحقق المساواة عندما تكون المتجهتان مستقيميتين (a/c = b/d)
تشيبيشيف: تنعكس المتفاوتة إذا كانت المتتاليتان في ترتيبين متعاكسين (إحداهما تزايدية والأخرى تناقصية)
|ab| = |a|·|b| لكن |a+b| ≤ |a|+|b| (ليست مساواة في الحالة العامة)

💡

للتذكّر

تقنية الأولمبياد: لتصغير/تكبير عبارة، حدد أي متفاوتة تعطي المساواة مع شروط المسألة (AM-GM إذا كان جداء، كوشي-شفارز إذا كان مجموع جداءات).

✍️تمرين نموذجي

ليكن $a, b, c > 0$ . بيّن أن $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq 3$ .

عرض التصحيح ▾

نطبّق متفاوتة المتوسط الحسابي-الهندسي على الأعداد الحقيقية الموجبة الثلاثة $\frac{a}{b}, \frac{b}{c}, \frac{c}{a}$ :

$\frac{1}{3} (\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}) \geq 3 \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a} = 31 = 1.$

ومنه $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq 3$ ، مع المساواة إذا وفقط إذا كان $\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a}$ ، أي $a = b = c$ .

مذكرات أخرى — الثانية باكالوريا علوم رياضية