📄 مذكرة الثانية باكالوريا علوم رياضية

∑ المتتاليات العددية (الباكالوريا)

كل الفصل في صفحة واحدة : الصيغ، الطريقة، الأخطاء. اقرأها 5 دقائق قبل الفرض.

📐الصيغ الأساسية

التراجع

$u_{n + 1}$ = f( $u_{n}$ ) → الرتابة عبر إشارة $u_{n + 1}$ − $u_{n}$

المتتاليتان المتجاورتان

( $u_{n}$ ) تزايدية + ( $v_{n}$ ) تناقصية + $v_{n}$ − $u_{n}$ →0 → نفس النهاية

التقارب

كل متتالية رتيبة ومحدودة تكون متقاربة

🪜الطريقة النموذجية

تحديد طبيعة المتتالية (تراجعية، صريحة) وتخمين السلوك المراد دراسته (الرتابة، الحدود، النهاية).
إثبات خاصية (تأطير، تحديد من الأعلى) بالاستدلال بالترجع: التحقق من الصحة عند الرتبة $n_{0}$ ، ثم التوارث $P (n) \Rightarrow P (n + 1)$ .
دراسة الرتابة عبر إشارة $u_{n + 1} - u_{n}$ ، أو الخارج $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ إذا كانت المتتالية موجبة.
استنتاج التقارب باستعمال مبرهنة النهاية الرتيبة (متتالية تزايدية ومحدودة من الأعلى أو تناقصية ومحدودة من الأسفل).
إذا كانت $u_{n + 1} = f (u_{n})$ مع $f$ متصلة، فإن النهاية $ℓ$ تحقق النقطة الصامدة $f (ℓ) = ℓ$ : نحل هذه المعادلة.

⚠️أخطاء يجب تجنّبها

متتالية متقاربة ≠ متتالية محدودة (الاستلزام في اتجاه واحد فقط)

✍️تمرين نموذجي

لتكن

(u_{n})

المعرفة بـ

u_{0} = 1

u_{n + 1} = 2 + u_{n}

.
1) بيّن أنه لكل

n

0 < u_{n} < 2

.
2) ادرس رتابة

(u_{n})

.
3) استنتج أن

(u_{n})

متقاربة وحدد نهايتها.

عرض التصحيح ▾

1) بالاستدلال بالترجع. $0 < u_{0} = 1 < 2$ . إذا كان $0 < u_{n} < 2$ ، فإن $2 < 2 + u_{n} < 4$ ، إذن $2 < u_{n + 1} < 2$ ، ومنه $0 < u_{n + 1} < 2$ .

2) $u_{n + 1} - u_{n} = 2 + u_{n} - u_{n} = \frac{2 + u _{n} - u _{n}^{2}}{2 + u _{n} + u _{n}}$ . البسط $- (u_{n} - 2) (u_{n} + 1) > 0$ لأن $0 < u_{n} < 2$ . إذن $(u_{n})$ تزايدية قطعاً.

3) $(u_{n})$ تزايدية ومحدودة من الأعلى بـ $2$ ، إذن فهي متقاربة نحو $ℓ \in [1, 2]$ . بالاتصال، $ℓ = 2 + ℓ$ ، أي $ℓ^{2} - ℓ - 2 = 0$ ، إذن $ℓ = 2$ (الجذر $- 1$ مرفوض). وبالتالي $lim u_{n} = 2$ .

🎯

والآن، تدرّب

تمارين مصححة حول هذا الفصل في انتظارك

←

مذكرات أخرى — الثانية باكالوريا علوم رياضية

limالنهايات والاتصال f'الاشتقاق ln / eˣالدالة اللوغاريتمية والدالة الأسية ∫التكامل ℂالأعداد العقدية 🎲الاحتمالات والعد y'المعادلات التفاضلية 🔢الحسابيات (متقدم) ⚙️البنيات الجبرية 🧊الهندسة في الفضاء △هندسة المثلث — صيغ متقدمة ≤المتفاوتات الكلاسيكية (الباكالوريا والأولمبياد)

∑ المتتاليات العددية (الباكالوريا)

مذكرات أخرى — الثانية باكالوريا علوم رياضية

Installe Atlasmaths sur ton téléphone