📄 مذكرة الثانية باكالوريا علوم رياضية

🎲 الاحتمالات والعد

كل الفصل في صفحة واحدة : الصيغ، الطريقة، الأخطاء. اقرأها 5 دقائق قبل الفرض.

📐الصيغ الأساسية

الترتيبات

$A_{n}^{p}$ = n!/(n−p)!

مثال : A₅² = 5×4 = 20

التوفيقات

$C_{n}^{p}$ = n! / (p!(n−p)!)

مثال : C₅² = 10

الاحتمال الشرطي

P(A|B) = P(A∩B) / P(B)

صيغة الاحتمالات الكلية

P(A) = P(A|B)P(B) + P(A| $\overline{B}$ )P( $\overline{B}$ )

مبرهنة بايز

P(B|A) = P(A|B)·P(B) / P(A)

القانون الحدي

X∼B(n,p) : P(X=k) = $C_{n}^{k}$ · $p^{k}$ ·(1−p)ⁿ⁻ $^{k}$ | E(X)=np | V(X)=np(1−p)

القانون الطبيعي

X∼N(μ,σ²) : P(μ−σ≤X≤μ+σ) ≈ 0.68 | P(μ−2σ≤X≤μ+2σ) ≈ 0.95

🪜الطريقة النموذجية

نمذجة التجربة: تحديد مجموعة الإمكانيات، معرفة ما إذا كان هناك ترتيب/تكرار لاختيار الترتيبة $A_{n}^{p}$ ، التبديلة $n!$ أو التوفيقة $(p n)$ .
إنشاء شجرة موزونة إذا كانت التجربة متعددة المراحل، بوضع الاحتمالات الشرطية على الأفرع.
تطبيق الاحتمال الشرطي $P_{B} (A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$ واختبار الاستقلال عبر $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ .
استعمال صيغة الاحتمالات الكلية: $P (A) = i \sum P (B_{i}) P_{B_{i}} (A)$ على نظام كامل من الأحداث.
التعرف على قانون حدي $B (n, p)$ : تجارب متماثلة، مستقلة، بإمكانيتين، وكتابة $P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ .
حساب الأمل $E (X) = n p$ والتباين $V (X) = n p (1 - p)$ ، ثم الاستنتاج في السياق.

⚠️أخطاء يجب تجنّبها

P(A∩B) = P(A)×P(B) فقط إذا كان A و B مستقلين
$C_{n}^{p}$ = $C_{n}$ ⁿ⁻ $^{p}$ — مفيد لتبسيط الحسابات
بايز: حدد جيدا أي حدث هو "السبب" وأيها "النتيجة"

💡

للتذكّر

المتغير المركز المختزل: Z = (X−μ)/σ → Z∼N(0,1). اقرأ جدول القانون الطبيعي المعياري.

✍️تمرين نموذجي

يحتوي صندوق على $4$ كرات حمراء و $6$ كرات خضراء. نسحب تتابعياً وبإحلال $5$ كرات.

لتكن $X$ عدد الكرات الحمراء المحصل عليها.

1) علّل أن $X$ يتبع قانوناً حدياً وحدد وسيطيه.

2) احسب $P (X = 2)$ و $E (X)$ .

عرض التصحيح ▾

1) السحوبات $5$ متماثلة، مستقلة (بإحلال) ولكل منها إمكانيتان: حمراء باحتمال $p = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ ، أو لا. إذن $X \sim B (5, \frac{2}{5})$ .

2) $P (X = 2) = (2 5) (\frac{2}{5})^{2} (\frac{3}{5})^{3} = 10 \times \frac{4}{25} \times \frac{27}{125} = \frac{1080}{3125} = \frac{216}{625} \approx 0, 346$ .

$E (X) = n p = 5 \times \frac{2}{5} = 2$ .

🎯

والآن، تدرّب

تمارين مصححة حول هذا الفصل في انتظارك

←

مذكرات أخرى — الثانية باكالوريا علوم رياضية

∑المتتاليات العددية (الباكالوريا) limالنهايات والاتصال f'الاشتقاق ln / eˣالدالة اللوغاريتمية والدالة الأسية ∫التكامل ℂالأعداد العقدية y'المعادلات التفاضلية 🔢الحسابيات (متقدم) ⚙️البنيات الجبرية 🧊الهندسة في الفضاء △هندسة المثلث — صيغ متقدمة ≤المتفاوتات الكلاسيكية (الباكالوريا والأولمبياد)

🎲 الاحتمالات والعد

مذكرات أخرى — الثانية باكالوريا علوم رياضية

Installe Atlasmaths sur ton téléphone