Énoncé Soit A B C D un carré et G = bary {( A , 2 ) ; ( B , − 1 ) ; ( C , 2 ) ; ( D , 1 )} . Soient I = bary {( A , 2 ) ; ( B , − 1 )} et J = bary {( C , 2 ) ; ( D , 1 )} . Montrer que 2 G A − GB = G I et 2 GC + G D = 3 G J . En déduire que G = bary {( I , 1 ) ; ( J , 3 )} . Donner les relations permettant de construire I , J puis G .

Barycentre d'un carré et associativité partielle

Difficile

Énoncé

Soit $A B C D$ un carré et $G = bary {(A, 2); (B, - 1); (C, 2); (D, 1)}$ . Soient $I = bary {(A, 2); (B, - 1)}$ et $J = bary {(C, 2); (D, 1)}$ .

Montrer que $2 G A - GB = G I$ et $2 GC + G D = 3 G J$ .
En déduire que $G = bary {(I, 1); (J, 3)}$ .
Donner les relations permettant de construire $I$ , $J$ puis $G$ .

Indices

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1 Indice 1

Utilise la propriété caractéristique du barycentre : pour tout point $M$, la somme pondérée des vecteurs $\\overrightarrow{MX}$ est proportionnelle à $\\overrightarrow{MG}$.

2 Indice 2

Applique cette propriété séparément aux deux points $I$ et $J$ en prenant $M = G$, en n'oubliant pas la somme des coefficients ($1$ pour $I$, $3$ pour $J$).

3 Indice 3

Pour la question 2, remplace dans la relation caractéristique de $G$ (avec $A,B,C,D$) les expressions trouvées à la question 1, puis regarde la somme des coefficients obtenue pour $I$ et $J$.

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Utilise la propriété caractéristique du barycentre : pour tout point $M$ , la somme pondérée des vecteurs $o v er r i g h t a r r o w M X$ est proportionnelle à $o v er r i g h t a r r o w M G$ .

Applique cette propriété séparément aux deux points $I$ et $J$ en prenant $M = G$ , en n'oubliant pas la somme des coefficients ( $1$ pour $I$ , $3$ pour $J$ ).

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