Énoncé Soit A B C un triangle. On considère les points E et F tels que A E = 2 A B et F est le milieu du segment [ A C ] . Montrer que E = bary {( A , − 1 ) ; ( B , 2 )} . Soit G = bary {( A , − 1 ) ; ( B , 2 ) ; ( C , 1 )} . Montrer que G est le milieu du segment [ C E ] . Soit K = bary {( B , 2 ) ; ( C , 1 )} . Montrer que les points A , K et G sont alignés. Déterminer l'ensemble ( φ ) des points M vérifiant − M A + 2 M B + M C = C E .

Barycentre dans un triangle : alignement et lieu

Difficile

Énoncé

Soit $A B C$ un triangle. On considère les points $E$ et $F$ tels que $A E = 2 A B$ et $F$ est le milieu du segment $[A C]$ .

Montrer que $E = bary {(A, - 1); (B, 2)}$ .
Soit $G = bary {(A, - 1); (B, 2); (C, 1)}$ . Montrer que $G$ est le milieu du segment $[C E]$ .
Soit $K = bary {(B, 2); (C, 1)}$ . Montrer que les points $A$ , $K$ et $G$ sont alignés.
Déterminer l'ensemble $(φ)$ des points $M$ vérifiant $- M A + 2 M B + M C = C E$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la 1), decompose $\\overrightarrow{AB}$ en $\\overrightarrow{AE}+\\overrightarrow{EB}$ dans l'egalite $\\overrightarrow{AE}=2\\overrightarrow{AB}$, puis fais apparaitre une relation du type $\\alpha\\overrightarrow{EA}+\\beta\\overrightarrow{EB}=\\vec{0}$.

2 Indice 2

Pour la 2), utilise l'associativite du barycentre : regroupe d'abord $A$ et $B$ (qui donnent $E$) avant d'ajouter $C$.

3 Indice 3

Pour la 3), regroupe cette fois $B$ et $C$ (qui donnent $K$) dans l'expression de $G$, puis conclus sur l'alignement.

4 Indice 4

Pour la 4), exprime $-\\overrightarrow{MA}+2\\overrightarrow{MB}+\\overrightarrow{MC}$ en fonction de $\\overrightarrow{MG}$ grace a la definition du barycentre $G$.

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Pour la 1), decompose $o v er r i g h t a r r o w A B$ en $o v er r i g h t a r r o w A E + o v er r i g h t a r r o w E B$ dans l'egalite $o v er r i g h t a r r o w A E = 2 o v er r i g h t a r r o w A B$ , puis fais apparaitre une relation du type $a l p ha o v er r i g h t a r r o w E A + b e t a o v er r i g h t a r r o w E B = v ec 0$ .

Pour la 2), utilise l'associativite du barycentre : regroupe d'abord $A$ et $B$ (qui donnent $E$ ) avant d'ajouter $C$ .

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Barycentre dans un triangle : alignement et lieu

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