Étude d'une fonction irrationnelle

Intermédiaire
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Énoncé

Soit .

  1. Déterminer et étudier la parité.
  2. Calculer et étudier le sens de variation.
  3. Montrer que la droite est asymptote oblique en , et en .
  4. Étudier la position de par rapport à ces asymptotes.

Indices

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1 Indice 1
Pour l'asymptote en $+\infty$, calcule $f(x) - x$ puis multiplie numérateur et dénominateur par l'expression conjuguée $\sqrt{x^2+1} + x$ pour faire apparaître la limite.
2 Indice 2
Une fois la forme simplifiée obtenue, observe le comportement du dénominateur quand $x \to +\infty$ : les termes en $x$ dominent. Pour la position de la courbe, regarde le signe de $f(x) - x$.

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La méthode — par où commencer

Pour l'asymptote en , calcule puis multiplie numérateur et dénominateur par l'expression conjuguée pour faire apparaître la limite.

Une fois la forme simplifiée obtenue, observe le comportement du dénominateur quand : les termes en dominent. Pour la position de la courbe, regarde le signe de .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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