Optimisation : aire maximale d'un rectangle inscrit

Difficile
Partager

Énoncé

On inscrit un rectangle dans un triangle rectangle de base 6 et de hauteur 4. Un côté du rectangle est sur la base du triangle.

  1. Si désigne la largeur du rectangle (), exprimer la hauteur du rectangle en fonction de (par similitude des triangles).
  2. Exprimer l'aire du rectangle en fonction de .
  3. Calculer et trouver le qui maximise .
  4. Quelle est l'aire maximale ?

Indices

— clique pour révéler
1 Indice 1
Utilise la similitude entre le petit triangle situé au-dessus du rectangle et le grand triangle : le rapport des hauteurs est égal au rapport des bases correspondantes.
2 Indice 2
Exprime l'aire $A(x)=x\cdot h(x)$ en remplaçant $h$ par l'expression trouvée à la question précédente, puis développe pour obtenir un polynôme du second degré.
3 Indice 3
Dérive $A(x)$, résous $A'(x)=0$ et étudie le signe de $A'$ de part et d'autre de cette valeur pour confirmer qu'il s'agit bien d'un maximum.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Demander à Prof Hicham

La méthode — par où commencer

Utilise la similitude entre le petit triangle situé au-dessus du rectangle et le grand triangle : le rapport des hauteurs est égal au rapport des bases correspondantes.

Exprime l'aire en remplaçant par l'expression trouvée à la question précédente, puis développe pour obtenir un polynôme du second degré.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

Exercice Terminé? 🎉

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points

Étude complète avec asymptote oblique : f(x) = (x²+1)/x Tous les exercices du chapitre BAC — Étude complète de f(x) = x + 4/x sur ]0;+∞[