(Type BAC) Soit f ( x ) = x + x 4 définie sur ] 0 ; + ∞ [ . Calculer x → 0 + lim f ( x ) et x → + ∞ lim f ( x ) . Identifier les comportements asymptotiques. Calculer f ′ ( x ) . Étudier le signe de f ′ ( x ) et dresser le tableau de variations. Montrer que f ( x ) ≥ 4 pour tout x > 0 . (Inégalité AM-GM) Résoudre f ( x ) = 5 sur ] 0 ; + ∞ [ .

BAC — Étude complète de f(x) = x + 4/x sur ]0;+∞[

Difficile

Énoncé

(Type BAC) Soit $f (x) = x + \frac{4}{x}$ définie sur $] 0; + \infty [$ .

Calculer $x \to 0^{+} lim f (x)$ et $x \to + \infty lim f (x)$ . Identifier les comportements asymptotiques.
Calculer $f^{'} (x)$ . Étudier le signe de $f^{'} (x)$ et dresser le tableau de variations.
Montrer que $f (x) \geq 4$ pour tout $x > 0$ . (Inégalité AM-GM)
Résoudre $f (x) = 5$ sur $] 0; + \infty [$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour les limites, separe le comportement de $x$ et de $4/x$ quand $x\\to0^+$ et quand $x\\to+\\infty$ ; pour l'asymptote oblique, etudie le signe de $f(x)-x$.

2 Indice 2

Pour la derivee, mets $f'(x)=1-\\dfrac{4}{x^2}$ sous forme d'une seule fraction et cherche la valeur qui l'annule sur $]0;+\\infty[$.

3 Indice 3

Pour l'inegalite AM-GM, applique l'inegalite $a+b\\geq2\\sqrt{ab}$ avec $a=x$ et $b=4/x$. Pour la resolution de $f(x)=5$, ramene l'equation a une equation du second degre en multipliant par $x$.

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Pour les limites, separe le comportement de $x$ et de $4/ x$ quand $x t o 0^{+}$ et quand $x t o + in f t y$ ; pour l'asymptote oblique, etudie le signe de $f (x) - x$ .

Pour la derivee, mets $f^{'} (x) = 1 - df r a c 4 x^{2}$ sous forme d'une seule fraction et cherche la valeur qui l'annule sur $] 0; + in f t y [$ .

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