Énoncé Soit f la fonction définie sur R par f ( x ) = 2 x 3 − 3 x 2 + 2 . Étudier les branches infinies de ( C f ) . Calculer f ′ ( x ) puis dresser le tableau de variations de f . Étudier la convexité de ( C f ) en précisant le point d'inflexion. Montrer que le point A ( 2 1 , 2 3 ) est un centre de symétrie de ( C f ) .

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Intermédiaire

Énoncé

Soit $f$ la fonction définie sur $R$ par $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2$ .

Étudier les branches infinies de $(C_{f})$ .
Calculer $f^{'} (x)$ puis dresser le tableau de variations de $f$ .
Étudier la convexité de $(C_{f})$ en précisant le point d'inflexion.
Montrer que le point $A (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ est un centre de symétrie de $(C_{f})$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour les branches infinies, commence par calculer les limites de $f(x)$ quand $x \to +\infty$ et $x \to -\infty$. Ensuite, étudie le comportement de $\dfrac{f(x)}{x}$ pour déterminer la nature de ces branches.

2 Indice 2

Pour montrer que $A$ est centre de symétrie, calcule $f\left(\dfrac{1}{2}+h\right) + f\left(\dfrac{1}{2}-h\right)$ pour tout réel $h$. Si tu obtiens $2 \times \dfrac{3}{2} = 3$, tu auras prouvé la symétrie.

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Pour les branches infinies, commence par calculer les limites de $f (x)$ quand $x \to + \infty$ et $x \to - \infty$ . Ensuite, étudie le comportement de $\frac{f ( x )}{x}$ pour déterminer la nature de ces branches.

Pour montrer que $A$ est centre de symétrie, calcule $f (\frac{1}{2} + h) + f (\frac{1}{2} - h)$ pour tout réel $h$ . Si tu obtiens $2 \times \frac{3}{2} = 3$ , tu auras prouvé la symétrie.

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