Fonction rationnelle bornée et impaire

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=\frac{2x}{x^2+1}$

1. Montrer que $f$ est majorée par $1$ sur $\mathbb{R}$.

2. Montrer que $f$ est minorée par $-1$ sur $\mathbb{R}$.

3. Étudier la parité de $f$.

4. Montrer que pour tous réels $x$ et $y$ : $f(x)-f(y)=\frac{2(1-xy)(x-y)}{(x^2+1)(y^2+1)}$.

5. En déduire le sens de variation de $f$ sur $[0;1]$ puis sur $[1;+\infty [$.