Variations de f(x)=2x/(x²+1)

Variations de $f(x)=\frac{2x}{x^2+1}$

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{2x}{x^2+1}$.

1. Montrer que pour tous $x,y$ de $\mathbb{R}$ : $f(x)-f(y)=\frac{2(1-xy)(x-y)}{(x^2+1)(y^2+1)}$.
2. En déduire le sens de variation de $f$ sur $[0;1]$ puis sur $[1;+\infty [$.
3. $f$ étant impaire, en déduire le sens de variation de $f$ sur $[-1;0]$ puis sur $]-\infty ;-1]$.
4. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.