Courbes sécantes et monotonie d'une composée

Difficile
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Énoncé

On considère les fonctions et définies par :

  1. Dresser le tableau de variations de et de .

  2. Vérifier que les courbes et passent toutes deux par le point .

  3. Déterminer .

  4. Étudier la monotonie de sur .

Indices

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1 Indice 1
Pour $f$, utilisez que $x \mapsto x^3$ est strictement croissante. Pour $g$, calculez $g(x_2)-g(x_1)$ en réduisant au même dénominateur pour voir le signe.
2 Indice 2
Pour la question 3, servez-vous du sens de variation de $g$ trouvé précédemment : l'image d'un intervalle par une fonction monotone se calcule aux bornes.
3 Indice 3
Pour la monotonie de $f \circ g$, combinez le sens de variation de $g$ sur $[2;+\infty[$ et celui de $f$ sur l'ensemble des valeurs prises par $g$.

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La méthode — par où commencer

Pour , utilisez que est strictement croissante. Pour , calculez en réduisant au même dénominateur pour voir le signe.

Pour la question 3, servez-vous du sens de variation de trouvé précédemment : l'image d'un intervalle par une fonction monotone se calcule aux bornes.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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