On considère les fonctions f et g définies par : f ( x ) = x 2 − x et g ( x ) = x + 2 Déterminer D f ∘ g puis calculer ( f ∘ g ) ( x ) . Montrer que f ∘ g est minorée par − 4 1 . Déterminer g ( [ − 2 ; − 4 7 ] ) . Étudier la monotonie de f ∘ g sur [ − 2 ; − 4 7 ] et sur [ − 4 7 ; + ∞ [ .

Composée minorée et étude de monotonie

Difficile

Énoncé

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par :

$f (x) = x^{2} - x et g (x) = x + 2$

Déterminer $D_{f \circ g}$ puis calculer $(f \circ g) (x)$ .
Montrer que $f \circ g$ est minorée par $- \frac{1}{4}$ .
Déterminer $g ([- 2; - \frac{7}{4}])$ .
Étudier la monotonie de $f \circ g$ sur $[- 2; - \frac{7}{4}]$ et sur $[- \frac{7}{4}; + \infty [$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour le domaine de $f\\circ g$, trouve d'abord le domaine de $g$ (condition sous la racine), puis compose : $f$ étant définie sur $\\mathbb{R}$, cela ne restreint pas davantage.

2 Indice 2

Pour la minoration, pose $t=\\sqrt{x+2}\\ge 0$ et mets $t^2-t$ sous forme canonique $(t-\\tfrac12)^2-\\tfrac14$.

3 Indice 3

Pour la monotonie, utilise le fait que $g$ est croissante et étudie sur quel intervalle de valeurs de $t$ la fonction $\\varphi(t)=t^2-t$ est croissante ou décroissante (sommet en $t=\\tfrac12$).

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Pour le domaine de $f c i r c g$ , trouve d'abord le domaine de $g$ (condition sous la racine), puis compose : $f$ étant définie sur $ma t hbb R$ , cela ne restreint pas davantage.

Pour la minoration, pose $t = s q r t x + 2 g e 0$ et mets $t^{2} - t$ sous forme canonique $(t - t f r a c 12)^{2} - t f r a c 14$ .

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