Composée et monotonie On considère f ( x ) = − x 2 + 2 x + 1 et g ( x ) = x − 1 , et la fonction h ( x ) = 2 x − x 2 . Vérifier que ( C f ) et ( C g ) sont sécantes au point A ( 2 ; 1 ) . Déterminer D h . Vérifier que h ( x ) = ( g ∘ f ) ( x ) pour tout x ∈ D h . Étudier la monotonie de h sur [ 0 ; 1 ] et sur [ 1 ; 2 ] .

Composée racine et monotonie sur sous-intervalles

Difficile

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Composée et monotonie

On considère $f (x) = - x^{2} + 2 x + 1$ et $g (x) = x - 1$ , et la fonction $h (x) = 2 x - x^{2}$ .

Vérifier que $(C_{f})$ et $(C_{g})$ sont sécantes au point $A (2; 1)$ .
Déterminer $D_{h}$ .
Vérifier que $h (x) = (g \circ f) (x)$ pour tout $x \in D_{h}$ .
Étudier la monotonie de $h$ sur $[0; 1]$ et sur $[1; 2]$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 1, calcule séparément $f(2)$ et $g(2)$ et compare les résultats.

2 Indice 2

Pour la question 2, résous l'inéquation $2x - x^2 \ge 0$ en factorisant sous la forme $x(2-x)$.

3 Indice 3

Pour la question 3, remplace $f(x)$ dans l'expression de $g$ et simplifie sous la racine ; pour la question 4, étudie le signe du trinôme $-x^2+2x$ pour en déduire les variations.

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Pour la question 1, calcule séparément $f (2)$ et $g (2)$ et compare les résultats.

Pour la question 2, résous l'inéquation $2 x - x^{2} \geq 0$ en factorisant sous la forme $x (2 - x)$ .

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