Point d'intersection et monotonie de $f\circ g$

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Énoncé

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Soient et .

  1. Donner le sens de variation de et de .

  2. Vérifier que et se coupent au point et préciser la nature de .

  3. Déterminer , puis étudier la monotonie de sur .

Indices

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1 Indice 1
Pour le sens de variation de $g$, une fonction homographique $\\dfrac{ax+b}{cx+d}$ est monotone sur chaque intervalle de son domaine ; le signe de $ad-bc$ donne le sens.
2 Indice 2
Pour l'intersection, calculez simplement $f(2)$ et $g(2)$ et vérifiez qu'ils coïncident.
3 Indice 3
Pour $f\\circ g$, déterminez d'abord l'image de l'intervalle $[2;+\\infty[$ par $g$ (en utilisant sa monotonie et sa limite en $+\\infty$), puis combinez le sens de variation de $g$ avec celui de $f$ sur cette image.

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La méthode — par où commencer

Pour le sens de variation de , une fonction homographique est monotone sur chaque intervalle de son domaine ; le signe de donne le sens.

Pour l'intersection, calculez simplement et et vérifiez qu'ils coïncident.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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Fonction $\dfrac{2x}{x^{2}+1}$ : encadrement et variations Tous les exercices du chapitre Domaine d'une racine et identité $h=g\circ f$