Énoncé Soient f ( x ) = − x 2 + 2 x + 1 et g ( x ) = x − 1 . On pose h ( x ) = 2 x − x 2 . Vérifier que ( C f ) et ( C g ) se coupent au point A ( 2 ; 1 ) . Déterminer le domaine de définition D h de h . Montrer que pour tout x ∈ D h , h ( x ) = ( g ∘ f ) ( x ) . Étudier la monotonie de h sur [ 0 ; 1 ] et sur [ 1 ; 2 ] .

Domaine d'une racine et identité $h=g\circ f$

Difficile

Énoncé

Soient $f (x) = - x^{2} + 2 x + 1$ et $g (x) = x - 1$ . On pose $h (x) = 2 x - x^{2}$ .

Vérifier que $(C_{f})$ et $(C_{g})$ se coupent au point $A (2; 1)$ .
Déterminer le domaine de définition $D_{h}$ de $h$ .
Montrer que pour tout $x \in D_{h}$ , $h (x) = (g \circ f) (x)$ .
Étudier la monotonie de $h$ sur $[0; 1]$ et sur $[1; 2]$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 1, calcule simplement $f(2)$ et $g(2)$ et verifie qu'ils sont egaux.

2 Indice 2

Pour le domaine de $h$, resous l'inequation $2x-x^2\\ge 0$ en factorisant sous la forme $x(2-x)\\ge 0$.

3 Indice 3

Pour la question 3, remplace $f(x)$ dans $g$ et simplifie l'expression sous la racine. Pour la question 4, etudie le sens de variation de $f$ (parabole de sommet en $x=1$) puis compose avec $g$ qui est croissante.

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Pour la question 1, calcule simplement $f (2)$ et $g (2)$ et verifie qu'ils sont egaux.

Pour le domaine de $h$ , resous l'inequation $2 x - x^{2} g e 0$ en factorisant sous la forme $x (2 - x) g e 0$ .

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Domaine d'une racine et identité $h=g\circ f$

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