Fonction $\dfrac{2x}{x^{2}+1}$ : encadrement et variations

Énoncé

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{2x}{x^2+1}$.

1. Montrer que $f$ est majorée par $1$ et minorée par $-1$ sur $\mathbb{R}$.

2. Étudier la parité de $f$.

3. Montrer que pour tous réels $x,y$ : $f(x)-f(y)=\frac{2(1-xy)(x-y)}{(x^2+1)(y^2+1)}$.

4. En déduire le sens de variation de $f$ sur $\left[0;1\right]$, sur $\left[1;+\infty \right[$, puis sur tout $\mathbb{R}$.