Encadrement de x/√(x²+1)

Difficile
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Énoncé

Encadrement et variations de

Soit définie sur par .

  1. Étudier la parité de .
  2. Montrer que pour tout .
  3. Montrer que pour tout : .
  4. En déduire le sens de variation de sur .

Indices

— clique pour révéler
1 Indice 1
Pour la parité, calcule $f(-x)$ et compare-le à $f(x)$ ; le domaine $\\mathbb{R}$ est bien symétrique.
2 Indice 2
Pour l'encadrement, compare $x^2$ à $x^2+1$ pour montrer que $|x|\\leq\\sqrt{x^2+1}$, puis divise par $\\sqrt{x^2+1}$.
3 Indice 3
Pour la question 3, écris $[f(x)]^2=\\dfrac{x^2}{x^2+1}$ et fais apparaître $\\dfrac{x^2+1-1}{x^2+1}$. Pour la variation, étudie comment $\\dfrac{1}{x^2+1}$ varie sur $[0;+\\infty[$, puis déduis la variation de $[f(x)]^2$ et enfin de $f$ (positive sur cet intervalle).

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La méthode — par où commencer

Pour la parité, calcule et compare-le à ; le domaine est bien symétrique.

Pour l'encadrement, compare à pour montrer que , puis divise par .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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Composée de deux fonctions homographiques Tous les exercices du chapitre Maximum d'une fonction rationnelle