Encadrement et étude complète de 2x/(x²+1)

Étude de $f(x)=\frac{2x}{x^2+1}$

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{2x}{x^2+1}$.

1. Montrer que $f$ est majorée par $1$ sur $\mathbb{R}$.
2. Montrer que $f$ est minorée par $-1$ sur $\mathbb{R}$.
3. Étudier la parité de $f$.
4. Montrer que pour tous réels $x,y$ : $f(x)-f(y)=\frac{2(1-xy)(x-y)}{(x^2+1)(y^2+1)}$, puis en déduire le taux de variation $T_f$.
5. Étudier le sens de variation de $f$ sur $[0;1]$ puis sur $[1;+\infty [$, et en déduire les variations sur $\mathbb{R}$.