Composition fog et monotonie

Difficile
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Énoncé

Composition et monotonie

Soient et définies par et .

  1. Déterminer puis calculer .
  2. Montrer que est minorée par .
  3. Étudier la monotonie de sur et sur .

Indices

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1 Indice 1
Le domaine de $f\circ g$ est l'ensemble des $x$ où $g(x)$ est défini ET où $g(x)$ appartient au domaine de $f$ ; ici $f$ est définie partout, donc seule la condition sur $g$ compte.
2 Indice 2
Posez $t = \sqrt{x+2} \geq 0$ pour simplifier $(f\circ g)(x) = t^2 - t$, puis mettez cette expression sous forme canonique $\left(t - \dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{4}$.
3 Indice 3
Pour la monotonie, étudiez le sens de variation de $t \mapsto t^2 - t$ selon que $t < \dfrac{1}{2}$ ou $t > \dfrac{1}{2}$, puis reliez $t = \sqrt{x+2}$ (croissante) aux bornes en $x$.

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La méthode — par où commencer

Le domaine de est l'ensemble des où est défini ET où appartient au domaine de ; ici est définie partout, donc seule la condition sur compte.

Posez pour simplifier , puis mettez cette expression sous forme canonique .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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