Étude de $\dfrac{x^{3}+1}{x^{3}-1}$ : domaine, signe, encadrement

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Soit définie par .

  1. Déterminer .

  2. Étudier le signe de sur .

  3. Montrer que pour tout : .

Indices

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1 Indice 1
Pour le domaine, cherche la valeur de $x$ qui annule le dénominateur $x^3-1$.
2 Indice 2
Pour le signe, étudie séparément le signe du numérateur $x^3+1$ et du dénominateur $x^3-1$ en te rappelant que $x \mapsto x^3$ est strictement croissante.
3 Indice 3
Pour la question 3, pose $t=x^3 \leq 0$ et compare $|t+1|$ et $|t-1|$ en élevant au carré, ce qui revient à étudier le signe de $4t$.

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La méthode — par où commencer

Pour le domaine, cherche la valeur de qui annule le dénominateur .

Pour le signe, étudie séparément le signe du numérateur et du dénominateur en te rappelant que est strictement croissante.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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