Signe et borne de (x³+1)/(x³-1)

Difficile
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Énoncé

Signe et borne de

Soit .

  1. Déterminer .
  2. Étudier le signe de sur .
  3. Montrer que pour tout : .

Indices

— clique pour révéler
1 Indice 1
Pour $D_f$, cherche simplement quand $x^{3}-1=0$.
2 Indice 2
Factorise $x^{3}+1=(x+1)(x^{2}-x+1)$ et remarque que $x^{2}-x+1$ est toujours strictement positif : le signe de $f$ dépend donc seulement de $(x+1)$ et $(x-1)$.
3 Indice 3
Pour la borne, sépare les cas $-1\leq x\leq 0$ et $x\leq -1$, exprime $|x^{3}+1|$ et $|x^{3}-1|$ sans valeur absolue selon le signe, puis compare-les.

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La méthode — par où commencer

Pour , cherche simplement quand .

Factorise et remarque que est toujours strictement positif : le signe de dépend donc seulement de et .

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