Soient A ( − 1 ; − 3 ; − 2 ) , B ( 0 ; 4 ; 2 ) , C ( 2 ; 2 ; − 1 ) et D ( 1 ; 1 ; 1 ) . Étudier la position relative des droites ( A C ) et ( B D ) . Soit la droite ( Δ ) passant par E ( − 2 ; 2 ; 4 ) de vecteur directeur u ( 1 ; − 2 ; 1 ) , et la droite ( Δ ′ ) passant par F ( − 1 ; 0 ; 1 ) de vecteur directeur v ( − 1 ; 2 ; 1 ) . a) Vérifier que les droites ( Δ ) et ( Δ ′ ) ne sont pas parallèles. b) Montrer que ( Δ ) et ( Δ ′ ) sont sécantes et déterminer leur point d'intersection.

Position relative de droites et intersection

Difficile

Énoncé

Soient $A (- 1; - 3; - 2)$ , $B (0; 4; 2)$ , $C (2; 2; - 1)$ et $D (1; 1; 1)$ . Étudier la position relative des droites $(A C)$ et $(B D)$ .
Soit la droite $(Δ)$ passant par $E (- 2; 2; 4)$ de vecteur directeur $u (1; - 2; 1)$ , et la droite $(Δ^{'})$ passant par $F (- 1; 0; 1)$ de vecteur directeur $v (- 1; 2; 1)$ .
a) Vérifier que les droites $(Δ)$ et $(Δ^{'})$ ne sont pas parallèles.
b) Montrer que $(Δ)$ et $(Δ^{'})$ sont sécantes et déterminer leur point d'intersection.

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 1, calcule les vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BD}$ et vérifie s'ils sont colinéaires (coordonnées proportionnelles).

2 Indice 2

Si les deux droites ne sont pas parallèles, teste la coplanarité en calculant un déterminant avec un troisième vecteur comme $\overrightarrow{AB}$.

3 Indice 3

Pour la question 2, deux vecteurs directeurs sont colinéaires si leurs coordonnées sont proportionnelles ; pour trouver l'intersection, égalise les représentations paramétriques des deux droites.

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Pour la question 1, calcule les vecteurs $A C$ et $B D$ et vérifie s'ils sont colinéaires (coordonnées proportionnelles).

Si les deux droites ne sont pas parallèles, teste la coplanarité en calculant un déterminant avec un troisième vecteur comme $A B$ .

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