On donne A ( − 1 ; − 3 ; − 2 ) , B ( 0 ; 4 ; 2 ) , C ( 2 ; 2 ; − 1 ) et D ( 1 ; 1 ; 1 ) . Étudier la position relative des droites ( A C ) et ( B D ) . La droite ( Δ ) passe par E ( − 2 ; 2 ; 4 ) et a pour vecteur directeur u ( 1 ; − 2 ; 1 ) ; la droite ( Δ ′ ) passe par F ( − 1 ; 0 ; 1 ) et a pour vecteur directeur v ( − 1 ; 2 ; 1 ) . a) Vérifier que ( Δ ) et ( Δ ′ ) ne sont pas parallèles. b) Montrer que ( Δ ) et ( Δ ′ ) sont sécantes et déterminer leur point d'intersection.

Position relative de deux droites de l'espace

Difficile

Énoncé

On donne $A (- 1; - 3; - 2)$ , $B (0; 4; 2)$ , $C (2; 2; - 1)$ et $D (1; 1; 1)$ . Étudier la position relative des droites $(A C)$ et $(B D)$ .
La droite $(Δ)$ passe par $E (- 2; 2; 4)$ et a pour vecteur directeur $u (1; - 2; 1)$ ; la droite $(Δ^{'})$ passe par $F (- 1; 0; 1)$ et a pour vecteur directeur $v (- 1; 2; 1)$ .
a) Vérifier que $(Δ)$ et $(Δ^{'})$ ne sont pas parallèles.
b) Montrer que $(Δ)$ et $(Δ^{'})$ sont sécantes et déterminer leur point d'intersection.

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 1, calcule les vecteurs directeurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BD}$, puis vérifie s'ils sont colinéaires ; si non, teste la coplanarité avec un déterminant $3\times3$ utilisant un troisième vecteur comme $\overrightarrow{AB}$.

2 Indice 2

Pour la question 2a, compare les coordonnées de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ pour voir si l'une est un multiple de l'autre.

3 Indice 3

Pour la question 2b, écris les représentations paramétriques des deux droites avec des paramètres différents ($t$ et $s$), puis résous le système d'équations obtenu en égalant les coordonnées.

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Pour la question 1, calcule les vecteurs directeurs $A C$ et $B D$ , puis vérifie s'ils sont colinéaires ; si non, teste la coplanarité avec un déterminant $3 \times 3$ utilisant un troisième vecteur comme $A B$ .

Pour la question 2a, compare les coordonnées de $u$ et $v$ pour voir si l'une est un multiple de l'autre.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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