Démonstrations par récurrence

Difficile
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Énoncé

Montrer par récurrence que :

  1. est divisible par .

  2. .

  3. .

  4. .

Indices

— clique pour révéler
1 Indice 1
Pour chaque item, applique le schéma classique : vérifie l'initialisation au premier rang, puis suppose la propriété vraie au rang $n$ (hypothèse de récurrence) avant de la démontrer au rang $n+1$.
2 Indice 2
Pour 1) et 2), essaie d'exprimer le terme au rang $n+1$ en faisant apparaître l'hypothèse de récurrence par une manipulation algébrique (factorisation ou mise au même dénominateur).
3 Indice 3
Pour 3), développe $\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2 + (n+1)^3$ et factorise pour retrouver la forme attendue au rang $n+1$ ; pour 4), majore $2n$ par $n+1$ en utilisant $n\geq 1$.

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La méthode — par où commencer

Pour chaque item, applique le schéma classique : vérifie l'initialisation au premier rang, puis suppose la propriété vraie au rang (hypothèse de récurrence) avant de la démontrer au rang .

Pour 1) et 2), essaie d'exprimer le terme au rang en faisant apparaître l'hypothèse de récurrence par une manipulation algébrique (factorisation ou mise au même dénominateur).

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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