Calcul d'aire et interprétation géométrique complexe

Exercice 5 — Étude de fonction et calcul d'aire

Soit la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty [$ par $f(x)=x-2+\frac{1}{x}$ et $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$.

1. Étude de $f$ :
   a) Calculer $f^{\prime }(x)$ et étudier son signe. En déduire le tableau de variations de $f$.
   b) Montrer que la droite $(D)$ d'équation $y=x-2$ est asymptote à $(C)$ en $+\infty$. Préciser la position relative de $(C)$ par rapport à $(D)$ sur $]0;+\infty [$.
2. Intersection :
   Déterminer les coordonnées du (ou des) point(s) d'intersection de $(C)$ et de $(D)$.
3. Calcul d'aire :
   a) Exprimer, pour $x>0$, $f(x)-(x-2)$ et étudier son signe.
   b) Calculer l'aire $A$ du domaine plan délimité par $(C)$ et $(D)$ sur l'intervalle $[\frac{1}{2};3]$. On exprimera $A$ en u.a. sous forme exacte.
4. Primitive particulière :
   Déterminer la primitive $F$ de $f$ sur $]0;+\infty [$ vérifiant $F(1)=0$.