Sphère inscrite dans un cube

Difficile
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Énoncé

Un cube de côté . 1) Rayon de la sphère inscrite dans le cube (tangente aux 6 faces). 2) Rayon de la sphère circonscrite (passant par les 8 sommets). 3) Rapport des volumes.

Indices

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1 Indice 1
La sphère inscrite est tangente aux 6 faces : son diamètre est égal à l'arête $a$ du cube.
2 Indice 2
La sphère circonscrite passe par les sommets : son diamètre est égal à la diagonale du cube. Utilise le théorème de Pythagore en 3D pour la calculer.
3 Indice 3
Une fois les deux rayons trouvés, utilise la formule $V=\dfrac{4}{3}\pi r^3$ pour chaque volume, puis fais le rapport demandé.

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La méthode — par où commencer

La sphère inscrite est tangente aux 6 faces : son diamètre est égal à l'arête du cube.

La sphère circonscrite passe par les sommets : son diamètre est égal à la diagonale du cube. Utilise le théorème de Pythagore en 3D pour la calculer.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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