Problème 3D — distance, section et repère

Difficile
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Énoncé

Dans un repère orthonormal (O ; i, j, k), on donne A(2,0,0), B(0,4,0), C(0,0,3) et D(1,2,1).

  1. Trouver l'équation du plan (ABC) sous la forme ax+by+cz=d.
  2. Calculer la distance de D au plan (ABC).
  3. Calculer les longueurs OA, OB, OC et le volume du tétraèdre O-ABC.

Indices

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1 Indice 1
Pour 1), utilise la forme d'équation d'un plan passant par les intersections avec les axes : $\\dfrac{x}{a}+\\dfrac{y}{b}+\\dfrac{z}{c}=1$ avec $a,b,c$ les coordonnées non nulles de $A,B,C$.
2 Indice 2
Pour 2), applique la formule de distance d'un point à un plan avec l'équation trouvée à la question 1.
3 Indice 3
Pour 3), le volume d'un tétraèdre formé par trois vecteurs orthogonaux issus d'un même sommet est $\\dfrac{1}{6}$ du produit des trois longueurs.

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La méthode — par où commencer

Pour 1), utilise la forme d'équation d'un plan passant par les intersections avec les axes : avec les coordonnées non nulles de .

Pour 2), applique la formule de distance d'un point à un plan avec l'équation trouvée à la question 1.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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