Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé ( O , u , v ) , on considère les points A, B, C d'affixes respectives : z A = 1 + i 3 , z B = 3 + i , z C = − 2 . Partie A - Formes exponentielles : Écrire z A et z B sous forme exponentielle r e i θ avec r > 0 et θ ∈ ] − π ; π ] . En déduire la forme exponentielle du produit z A × z B . Partie B - Argument et angle géométrique : On pose Z = z B − z A z C − z A . Calculer z C − z A et z B − z A . Calculer le module et un argument de Z . Interpréter géométriquement le module et l'argument de Z .

Nombres complexes : forme exponentielle, argument et géométrie

Intermédiaire Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Source-style : BAC France Spé Maths 2024

Inspiré du style BAC France Spé Maths 2024

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé

(O, u, v)

, on considère les points A, B, C d'affixes respectives :

z_{A} = 1 + i 3

z_{B} = 3 + i

z_{C} = - 2

. Partie A - Formes exponentielles : Écrire

z_{A}

z_{B}

sous forme exponentielle

r e^{i θ}

avec

r > 0

θ \in] - π; π]

. En déduire la forme exponentielle du produit

z_{A} \times z_{B}

. Partie B - Argument et angle géométrique : On pose

Z = \frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}}

. Calculer

z_{C} - z_{A}

z_{B} - z_{A}

. Calculer le module et un argument de

Z

. Interpréter géométriquement le module et l'argument de

Z

Indices

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1 Indice 1

Pour passer à la forme exponentielle $r\,e^{i\theta}$, commence par calculer le module $r = |z|$ avec la formule $\sqrt{x^2 + y^2}$, puis identifie l'angle $\theta$ en cherchant les valeurs de $\cos\theta$ et $\sin\theta$ à partir des parties réelle et imaginaire divisées par $r$.

2 Indice 2

Pour la partie B, remarque que $Z = \dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ est un quotient de complexes : son module est le quotient des modules $|Z| = \dfrac{|z_C - z_A|}{|z_B - z_A|}$ et son argument est la différence des arguments $\arg(Z) = \arg(z_C - z_A) - \arg(z_B - z_A)$.

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Pour passer à la forme exponentielle $r e^{i θ}$ , commence par calculer le module $r = ∣ z ∣$ avec la formule $x^{2} + y^{2}$ , puis identifie l'angle $θ$ en cherchant les valeurs de $cos θ$ et $sin θ$ à partir des parties réelle et imaginaire divisées par $r$ .

Pour la partie B, remarque que $Z = \frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}}$ est un quotient de complexes : son module est le quotient des modules $∣ Z ∣ = \frac{∣ z _{C} - z _{A} ∣}{∣ z _{B} - z _{A} ∣}$ et son argument est la différence des arguments $ar g (Z) = ar g (z_{C} - z_{A}) - ar g (z_{B} - z_{A})$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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