Test de dépistage à 2 % de prévalence — probabilités conditionnelles (Bac France 2024)

Facile Inspiré BAC France
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Exercice inspiré d'un BAC France
Source-style : BAC France Spé Maths 2024
Inspiré du style BAC France Spé Maths 2024
Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Dans une ville du Maroc, une maladie touche 2 % de la population. Un test de dépistage est utilisé :

  • Si une personne est malade, le test est positif avec une probabilité de 0,95.
  • Si une personne est saine, le test est positif avec une probabilité de 0,03 (faux positif).

On choisit une personne au hasard dans la population. On note :

  • M : « la personne est malade »
  • T : « le test est positif »
  1. Représenter la situation par un arbre pondéré.
  2. Calculer P(T), la probabilité que le test soit positif.
  3. Sachant que le test est positif, calculer la probabilité que la personne soit effectivement malade. Commenter le résultat.

Indices

— clique pour révéler
1 Indice 1
Commence par dessiner un arbre à deux niveaux : d'abord la personne est malade ou non (avec les probabilités 0,02 et 0,98), puis pour chaque cas, le test peut être positif ou négatif.
2 Indice 2
Pour calculer $P(T)$, utilise la formule des probabilités totales : $P(T) = P(M) \times P(T|M) + P(\overline{M}) \times P(T|\overline{M})$. Remplace par les valeurs de l'énoncé et additionne les deux chemins menant à un test positif.

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La méthode — par où commencer

Commence par dessiner un arbre à deux niveaux : d'abord la personne est malade ou non (avec les probabilités 0,02 et 0,98), puis pour chaque cas, le test peut être positif ou négatif.

Pour calculer , utilise la formule des probabilités totales : . Remplace par les valeurs de l'énoncé et additionne les deux chemins menant à un test positif.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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