Test de dépistage en laboratoire pour la maladie M (Bac France 2024)

Intermédiaire Inspiré BAC France
Partager
Exercice inspiré d'un BAC France
Source-style : BAC France Spé Maths 2024
Inspiré du style BAC France Spé Maths 2024
Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Dans une ville du Maroc, un laboratoire propose un test de dépistage pour une maladie M. On dispose des informations suivantes :

  • La proportion de personnes atteintes par la maladie M dans la population testée est de 2 %.
  • Si une personne est atteinte de M, le test est positif avec une probabilité de 0,95.
  • Si une personne est saine, le test est positif avec une probabilité de 0,04 (faux positif).

On note :
— M l'événement « la personne est atteinte de la maladie »,
— T l'événement « le test est positif ».

  1. Construire un arbre pondéré représentant la situation.

  2. Calculer la probabilité qu'une personne tirée au hasard dans cette population ait un test positif. On donnera le résultat sous forme décimale arrondie à 1 près.

  3. Sachant que le test d'une personne est positif, calculer la probabilité qu'elle soit réellement atteinte de la maladie M. Arrondir à 1 près.

  4. Le laboratoire affirme que son test est « fiable à plus de 90 % ». Commenter cette affirmation à la lumière du résultat de la question 3.

Indices

— clique pour révéler
1 Indice 1
Pour calculer la probabilité qu'une personne testée positive soit réellement malade, tu dois utiliser la formule de Bayes : $P(M|T) = \dfrac{P(M \cap T)}{P(T)}$. Pense à ce que tu as déjà calculé à la question précédente.
2 Indice 2
Le numérateur $P(M \cap T)$ se calcule avec $P(M) \times P(T|M) = 0{,}02 \times 0{,}95$. Divise ce résultat par $P(T)$ que tu as trouvé en question 2, puis compare cette probabilité aux 90% annoncés par le laboratoire.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Demander à Prof Hicham

La méthode — par où commencer

Pour calculer la probabilité qu'une personne testée positive soit réellement malade, tu dois utiliser la formule de Bayes : . Pense à ce que tu as déjà calculé à la question précédente.

Le numérateur se calcule avec . Divise ce résultat par que tu as trouvé en question 2, puis compare cette probabilité aux 90% annoncés par le laboratoire.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

Exercice Terminé? 🎉

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points

Test de dépistage à 2 % de prévalence — probabilités conditionnelles (Bac France 2024) Tous les exercices du chapitre Jeu de dés et variable aléatoire : loi, espérance, équité