Jeu de dés et variable aléatoire : loi, espérance, équité

Un jeu consiste à lancer simultanément deux dés équilibrés à six faces numérotées de 1 à 6. On note S la somme des deux résultats obtenus.

Un joueur mise 10 dirhams pour participer. Les gains sont définis comme suit :

• Si S = 2 ou S = 12, le joueur gagne 50 dirhams (en plus de récupérer sa mise).
• Si S = 7, le joueur gagne 20 dirhams (en plus de récupérer sa mise).
• Dans tous les autres cas, le joueur perd sa mise.

On note G le gain algébrique du joueur (positif si le joueur gagne, négatif s'il perd).

1. Déterminer la loi de probabilité de G.
2. Calculer l'espérance E(G). Le jeu est-il favorable au joueur ? Justifier.
3. Calculer la variance V(G) et l'écart-type $\sigma$(G). Arrondir à $10^{-2}$ près.
4. On modifie le gain en cas de S = 7 : il devient c dirhams. Déterminer la valeur de c pour que le jeu soit équitable (E(G) = 0).