Urnes, probabilités conditionnelles et variable aléatoire composée

On dispose de deux urnes :

• Urne A : contient $3$ boules rouges et $2$ boules blanches.
• Urne B : contient $1$ boule rouge et $4$ boules blanches.

On effectue l'expérience suivante en deux étapes :

Étape 1 : On lance un dé équilibré à $6$ faces. Si le résultat est un multiple de $3$, on choisit l'urne B ; sinon, on choisit l'urne A.

Étape 2 : On tire successivement et sans remise deux boules de l'urne choisie.

On note $X$ le nombre de boules rouges obtenues lors du tirage des deux boules.

1. Montrer que $P(\text{urne A choisie})=\frac{2}{3}$ et $P(\text{urne B choisie})=\frac{1}{3}$.
2. Calculer $P(X=0\mid \text{urne A})$ et $P(X=0\mid \text{urne B})$.
3. En déduire $P(X=0)$ à l'aide de la formule des probabilités totales.
4. Calculer de même $P(X=1)$ et $P(X=2)$, puis dresser la loi de probabilité de $X$.
5. Calculer $E(X)$. Interpréter ce résultat.
6. Sachant que les deux boules tirées sont toutes les deux rouges, calculer la probabilité que l'urne A ait été choisie.