Contrôle qualité avec remise — usine de Casablanca (Bac France 2024)

Une usine de Casablanca fabrique des pièces mécaniques. On sait que 5 % des pièces produites sont défectueuses.

Un contrôleur prélève au hasard et avec remise un échantillon de 10 pièces.

On note X la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses dans cet échantillon.

1. Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. Calculer la probabilité que l'échantillon ne contienne aucune pièce défectueuse. On donnera le résultat arrondi à $10^{-4}$ près.

3. Calculer la probabilité que l'échantillon contienne au moins une pièce défectueuse. On donnera le résultat arrondi à $10^{-4}$ près.

4. Calculer l'espérance et la variance de X. Interpréter l'espérance dans le contexte de l'exercice.