Une usine fabrique des pièces dont 5% sont défectueuses. On prélève un échantillon de n = 100 pièces. Soit X le nombre de pièces défectueuses dans l'échantillon. Quelle est la loi exacte de X ? Calculer E ( X ) et σ ( X ) . Justifier qu'on peut approcher X par une loi normale Y ∼ N ( μ , σ 2 ) et préciser μ et σ . En utilisant l'approximation normale, calculer P ( X ≤ 8 ) . ( Φ ( 1.46 ) ≈ 0.928 ) Calculer P ( 3 ≤ X ≤ 7 ) . ( Φ ( 0.97 ) ≈ 0.834 , Φ ( − 0.97 ) ≈ 0.166 ) On considère que la production est "hors contrôle" si X ≥ 10 . Calculer cette probabilité et interpréter. ( Φ ( 2.18 ) ≈ 0.985 )

Loi binomiale, approximation normale et test (Bac)

Difficile

Énoncé

Une usine fabrique des pièces dont $5%$ sont défectueuses. On prélève un échantillon de $n = 100$ pièces.

Soit $X$ le nombre de pièces défectueuses dans l'échantillon.

Quelle est la loi exacte de $X$ ? Calculer $E (X)$ et $σ (X)$ .
Justifier qu'on peut approcher $X$ par une loi normale $Y \sim N (μ, σ^{2})$ et préciser $μ$ et $σ$ .
En utilisant l'approximation normale, calculer $P (X \leq 8)$ . ( $Φ (1.46) \approx 0.928$ )
Calculer $P (3 \leq X \leq 7)$ . ( $Φ (0.97) \approx 0.834$ , $Φ (- 0.97) \approx 0.166$ )
On considère que la production est "hors contrôle" si $X \geq 10$ . Calculer cette probabilité et interpréter. ( $Φ (2.18) \approx 0.985$ )

Indices

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1 Indice 1

Chaque piece est independamment defectueuse avec probabilite fixe : reconnaissez la loi de $X$ (binomiale) et utilisez $E(X)=np$, $V(X)=np(1-p)$.

2 Indice 2

Pour approcher par une loi normale, verifiez les trois conditions habituelles ($n \\ge 30$, $np \\ge 5$, $n(1-p) \\ge 5$), puis centrez-reduisez avec $Z = \\dfrac{Y-\\mu}{\\sigma}$.

3 Indice 3

Pour chaque probabilite demandee, pensez a la correction de continuite (remplacer $X \\le k$ par $Y \\le k+0.5$, etc.) avant de vous ramener a la loi normale centree reduite et d'utiliser les valeurs de $\\Phi$ fournies.

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La méthode — par où commencer

Chaque piece est independamment defectueuse avec probabilite fixe : reconnaissez la loi de $X$ (binomiale) et utilisez $E (X) = n p$ , $V (X) = n p (1 - p)$ .

Pour approcher par une loi normale, verifiez les trois conditions habituelles ( $n g e 30$ , $n p g e 5$ , $n (1 - p) g e 5$ ), puis centrez-reduisez avec $Z = df r a c Y - m u s i g ma$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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