Une chaîne de production fabrique des ampoules. On sait que 8% des ampoules sont défectueuses. Un lot de n = 200 ampoules est contrôlé. Soit X le nombre d'ampoules défectueuses. Quelle est la loi de X ? Calculer E ( X ) et σ ( X ) . Justifier qu'on peut approcher X par une loi normale et préciser ses paramètres. Calculer P ( X ≤ 20 ) à l'aide de l'approximation normale. ( Φ ( 1.52 ) ≈ 0.936 ) Calculer P ( 12 ≤ X ≤ 24 ) . ( Φ ( 0.76 ) ≈ 0.776 , Φ ( 2.27 ) ≈ 0.988 ) On décide que le lot est "hors norme" si X ≥ 25 . Calculer cette probabilité et prendre une décision si l'on observe x = 26 . ( Φ ( 2.65 ) ≈ 0.996 )

Problème BAC complet — loi binomiale, approximation normale, décision

Difficile

Énoncé

Une chaîne de production fabrique des ampoules. On sait que $8%$ des ampoules sont défectueuses. Un lot de $n = 200$ ampoules est contrôlé. Soit $X$ le nombre d'ampoules défectueuses.

Quelle est la loi de $X$ ? Calculer $E (X)$ et $σ (X)$ .
Justifier qu'on peut approcher $X$ par une loi normale et préciser ses paramètres.
Calculer $P (X \leq 20)$ à l'aide de l'approximation normale. ( $Φ (1.52) \approx 0.936$ )
Calculer $P (12 \leq X \leq 24)$ . ( $Φ (0.76) \approx 0.776$ , $Φ (2.27) \approx 0.988$ )
On décide que le lot est "hors norme" si $X \geq 25$ . Calculer cette probabilité et prendre une décision si l'on observe $x = 26$ . ( $Φ (2.65) \approx 0.996$ )

Indices

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1 Indice 1

X suit une loi binomiale car on répète une expérience de Bernoulli (défectueuse ou non) $n$ fois de façon indépendante : identifie les paramètres $n$ et $p$.

2 Indice 2

Pour l'approximation normale, vérifie les conditions usuelles ($n \ge 30$, $np \ge 5$, $n(1-p) \ge 5$) puis centre-réduis avec $Z = \dfrac{X - np}{\sigma}$.

3 Indice 3

Pour chaque probabilité demandée, ramène l'inégalité sur $X$ à une inégalité sur $Z$ avant d'utiliser les valeurs de $\Phi$ fournies dans l'énoncé.

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La méthode — par où commencer

X suit une loi binomiale car on répète une expérience de Bernoulli (défectueuse ou non) $n$ fois de façon indépendante : identifie les paramètres $n$ et $p$ .

Pour l'approximation normale, vérifie les conditions usuelles ( $n \geq 30$ , $n p \geq 5$ , $n (1 - p) \geq 5$ ) puis centre-réduis avec $Z = \frac{X - n p}{σ}$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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