Jeu de gain et loi binomiale

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Énoncé

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Un sac contient boules indiscernables () : blanches et noires. Une partie consiste à tirer une boule, noter sa couleur, la remettre, puis tirer une seconde boule et noter sa couleur. Règle :

  1. deux boules blanches : on gagne 20 points ;
  2. deux boules noires : on perd 20 points ;
  3. boules de couleurs différentes : gain nul.

1) Calculer la probabilité de gagner 20 points, de perdre 20 points et d'un gain nul.
2) On répète le jeu 5 fois. a) Probabilité de gagner 100 points. b) Probabilité de gagner 40 points (au total).

Indices

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1 Indice 1
Pour la question 1, commence par calculer la probabilité d'obtenir une boule blanche lors d'un tirage. Comme il y a remise, les deux tirages sont indépendants : multiplie les probabilités pour obtenir $P(BB)$.
2 Indice 2
Pour la question 2b, cherche d'abord toutes les combinaisons possibles de parties gagnées, nulles et perdues qui donnent 40 points au total. Pose $a$ parties à +20, $b$ à 0, $c$ à -20, avec $a+b+c=5$ et $20a-20c=40$. Résous ce système, puis utilise la loi multinomiale.

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La méthode — par où commencer

Pour la question 1, commence par calculer la probabilité d'obtenir une boule blanche lors d'un tirage. Comme il y a remise, les deux tirages sont indépendants : multiplie les probabilités pour obtenir .

Pour la question 2b, cherche d'abord toutes les combinaisons possibles de parties gagnées, nulles et perdues qui donnent 40 points au total. Pose parties à +20, à 0, à -20, avec et . Résous ce système, puis utilise la loi multinomiale.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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