Étude d'une suite définie par récurrence et convergence — Bac Côte d'Ivoire 2023

Soit la suite ($u_n$) définie par $u_0=4$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $u_{n+1}=\frac{1}{2}\times u_n+3$.

1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
2. Partie A – Suite auxiliaire. On pose $v_n=u_n-6$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.
   1. Montrer que ($v_n$) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
   2. Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
3. Partie B – Monotonie. Étudier la monotonie de la suite ($u_n$).
4. Partie C – Limite. Calculer $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$. Interpréter graphiquement ce résultat.