Exercice 4 On considère la suite ( u n ) n ∈ N définie par : u 0 = 2 et u n + 1 = 3 u n − 4 pour tout n ∈ N . On pose v n = u n − 2 pour tout n ∈ N . Calculer v 0 . Montrer que ( v n ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. Exprimer v n puis u n en fonction de n . Calculer la somme T n = u 0 + u 1 + ... + u n en fonction de n .

Suite définie par récurrence et suite auxiliaire — niveau intermédiaire

Intermédiaire Inspiré BAC Sénégal

Exercice inspiré d'un BAC Sénégal

Source-style : BAC Sénégal Série S 2023

Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Exercice 4

On considère la suite $(u_{n})_{n \in N}$ définie par : $u_{0} = 2$ et $u_{n + 1} = 3 u_{n} - 4$ pour tout $n \in N$ .

On pose $v_{n} = u_{n} - 2$ pour tout $n \in N$ .

Calculer $v_{0}$ .
Montrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
Exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$ .
Calculer la somme $T_{n} = u_{0} + u_{1} + ... + u_{n}$ en fonction de $n$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour montrer que $(v_n)$ est géométrique, commence par calculer $v_{n+1}$ en remplaçant $u_{n+1}$ par son expression $3u_n - 4$, puis factorise pour faire apparaître $v_n = u_n - 2$.

2 Indice 2

Une fois que tu as trouvé la relation $v_{n+1} = 3v_n$, n'oublie pas de calculer $v_0$ d'abord. Ce résultat va te surprendre et simplifier énormément l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.

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Pour montrer que $(v_{n})$ est géométrique, commence par calculer $v_{n + 1}$ en remplaçant $u_{n + 1}$ par son expression $3 u_{n} - 4$ , puis factorise pour faire apparaître $v_{n} = u_{n} - 2$ .

Une fois que tu as trouvé la relation $v_{n + 1} = 3 v_{n}$ , n'oublie pas de calculer $v_{0}$ d'abord. Ce résultat va te surprendre et simplifier énormément l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$ .

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